\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 15 : Intégration II (1h)}{}{T\up{ale} }{10 mai 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 \begin{exercice}[(14 points)]
  % asie 2015
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.
 
On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par 

\[I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item 

Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. 

% \begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
\uput[d](0.4,0.86){$f_{2}$}
\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}

\end{pspicture}
\end{center}
% \end{figure}

En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
 
\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. 
\item À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
% \item On considère l'algorithme suivant :
% 
% \begin{center}
% \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline 
% \textbf{Variables :}&  $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\
% 					& $x$ et $I$ sont des réels\\
% 					&\\ 
% \textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\
% 					&\\ 
% \textbf{Traitement :}& 	Demander un entier $n \geqslant 1$\\
% 					& Demander un entier $p \geqslant 1$\\ 
% 					&Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ 
% 					&\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ 
% 					&\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ 
% 					&Fin Pour \\
% 					&Afficher $I$\\ \hline
% \end{tabularx}
% \end{center}
%  
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?
% 		 
% On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. 
% 
% \begin{center}
% \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
% $k$& $x$&$I$\\ \hline 
% 0&&\\ \hline
% &&\\ \hline
% &&\\ \hline
% &&\\ \hline
% 4&&\\ \hline
% \end{tabularx}
% \end{center} 
% 		\item Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.
% 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 \end{exercice}


\begin{exercice}[(6 points)]
 % Nouvelle caledoinie mars 2016
 
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~16] par

\[f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\]

Dans un repère du plan $\oij$, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.

\begin{enumerate}
 \item Donner la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ainsi que les points de contact.
 \item Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.
\end{enumerate}




 \begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(18.8496,9.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln}
}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18.8496}{x 1 add ln}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{18.8496}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759)
\uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B}
\uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\green $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
