\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 14 : Intégration (1h)}{}{T\up{ale} }{29 avril 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
  \begin{exercice}[(6 points)]
  
  Calculer les intégrales suivantes :
  
  \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect I_{\arabic*} = \ $}
                ,itemsep=6cm
                 ]
% \item $\ds\int_0^{1} \dfrac{1}{(2x+3)^3} \,dx$   
\item $\ds\int_0^{\e} \dfrac{x}{x^2+1} \,dx$ 
% \item $\ds\int_0^1 \dfrac{\E^{3x+1}}{1+\E^{3x}}, dx$
% \item  $\ds\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\sin (2x)}{(1+\cos (2x))^4}\, dx$
\item  $\ds\int_0^3 x\E^{-x^2} \, dx $
% \item  $\ds\int_1^\E \dfrac{\E^{x}}{(\E^x+1)^3}\, dx$
% \item $\ds\int_1^2 \dfrac{x^3}{x^4+1}\, dx$
% \item $\ds\int_{0}^{2} (x^2+1)^2 \,dx$
 \item  $\ds\int_0^1 x\e^{2x} \, dx $
 \end{enumerate}
\end{exercice}
 
 
 \newpage
 \begin{exercice}[(9 points)]
 
On pose pour tout entier naturel $n$ non nul : 
\[
I_n=\int_1^\E x^2(\ln x )^n \,dx
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $I_n\geq 0$.
\item
\begin{enumerate}

\item Montrer que pour tout $n\in\N^\star$ et tout $x\in [1;\E]$, on a:
\[
 x^2(\ln x )^{n+1}\leq x^2(\ln x )^n
\]

\item En déduire que $(I_n)$ est décroissante.
\end{enumerate}

\item Montrer que $(I_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour
  tout entier naturel $n$ :
\[
3I_{n+1} + (n+1)I_n=\e^3
\]
\item  En déduire que $\limite{n}{\pI} I_n =0$

\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
