\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 9 : Espace  (1h)}{}{T\up{ale} }{24 février 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}[(17 points)]
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\oijk$, on considère les points :
$A$ de coordonnées $\triplet{2}{0}{0}$, $B$ de coordonnées $\triplet{0}{3}{0}$ et $C$ de coordonnées $\triplet{0}{0}{1}$.

\begin{center}
% \begin{mplibcode}
\begin{emp}(0,0)
u:=2cm;
repere(-2,4,u,-2,2,u);
 pair O,A,B,C,D,E,F,G;
 O=(0,0);A=(-0.8,-0.8);B=(3,0);C=(0,1);
 D=A+B;E=A+C;G=C+B;F=A+B+C;
 path tri;
 tri= A--B--C--cycle;
 fill tri couleur 0.7white+0.3coulpoint;
 draw tri dashed evenly couleur coulpoint;
 drawoptions(epaisseur 1);
 draw A--O--C dashed evenly;
 draw O--B dashed evenly;
 draw E--A--D--B--G--C--E--F--G;
 draw D--F;
 nomme[150](O);nomme.lrt(B);
 nomme.llft(A);nomme.top(C);
fin;
% \end{mplibcode}
\end{emp}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En utilisant un produit scalaire, donner une valeur arrondie de l'angle $\widehat{BAC}$ au degré.
\item Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $C$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

L’objectif de la suite de l'exercice est de calculer l’aire du triangle $ABC$.

 \begin{enumerate}[resume*]
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que le vecteur $\vect{n}\smallce{3}{2}{6}$ est normal au plan $(ABC)$.
  \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
  \end{enumerate}
\item On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
  \item Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $\triplet{\frac{18}{49}}{\frac{12}{49}}{\frac{36}{49}}$.
  \item Calculer la distance $OH$.
  \end{enumerate}
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $\calv=\frac{1}{3}\calb h$, où $\calb$ est l'aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l'aire du triangle $ABC$.

\end{enumerate}
 
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(3 points)]$\ $\\
% Nouvelle Calédonie Novembre 2016



\begin{enumerate}
\item \textbf{Sur le cube ci-dessous en première colonne}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où K est un point du segment [BF].
\item \textbf{Sur le cube ci-dessous en deuxième colonne}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où L est un point de la droite (BF).
\end{enumerate}


\begin{minipage}{7cm}
 
% \textbf{Question 1}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8.25)
\psframe(0.5,0.5)(5,5)
\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
\psline(5,5)(7,7.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,3.7){K}
\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,3.7) 
\uput[r](5,3.875){J} 
\end{pspicture}

\end{minipage}
\hspace{3cm}
\begin{minipage}{7cm}

% \textbf{Question~2}
% \vspace{-1cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,9.25)
\psframe(0.5,0.5)(5,5)
\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
\psline(5,5)(7,7.2)\psline(7,-0.5)(7,9.25)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,8.4){L}
\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,8.4) 
\uput[r](5,3.875){J} 
\end{pspicture}
\end{minipage}


% \end{center}

 
 
 \subsection*{Joker hors barême}
 
 
 \begin{minipage}{10cm}
 
On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre.

On définit les points I et J respectivement par $\vect{\text{HI}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{HG}}$ et $\vect{\text{JG}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{CG}}$.



Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP)
soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse et donner le cas échéant $\vect{BP}$ en fonction de $\vect{BF}$.

\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{7cm}
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8.25)
\psframe(0.5,0.5)(5,5)
\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
\psline(5,5)(7,7.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}
\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5) 
\uput[r](5,3.875){J} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
