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\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{Devoir n\up{o} 8 : Equations différentielles et espace  (1h)}{}{T\up{ale} }{3 février 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}[(4 points)]
% sti2d polynesiejuin 2013
La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100~\degres C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20~\degres C.
 
Théo lui rétorque que quand il sera à 37~\degres C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère qui fait de la recherche dans la température de cuisson des céramiques lui répond : 

 
\og La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle suivante :  \fg

\[(E)\quad  y' + 0,04y = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$. 

Montrer que cette solution est :
\[
 g(t)=80\ds\E^{ -0.04 t}+20
\]

\item En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée, déterminer à partir de combien de temps le plat fera moins de  37~\degres C.  En donner une valeur arrondie à la seconde près.

\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[(6 points)]
% metropole 16 sept 2010

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\oijk$.
 
Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est 

\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x&  - t + 1\\ 
y& 2t \\
z& -t + 2
\end{array}\right. 
\text{où}~t~\text{désigne un nombre réel.}\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. 
		\item  Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. 
		\item Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. 
		\item Montrer que CI $= \sqrt{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. 
		\item Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
