\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 7 : Exponentielle et Ln  (2h)}{}{T\up{ale} }{21 décembre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}[(2 points)]
\begin{enumerate}
 \item Déterminez la solution $f$ de l'équation différentielle suivante qui satisfait $f(1)=0$.
 \[
  y'-3y=2
 \]

 \item On donne l'équation différentielle 
 \[
  (E)~~~~ y'-2y=\e^{2x}
 \]
 Montrer que la fonction $g(x)=x\e^{2x}$ est solution de de $(E)$.


\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(8 points)]
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
\begin{itemize}[leftmargin=3em]
\item la courbe représentative $\calc_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\oinf$ ;
\item la tangente $T_A$ à la courbe $\calc_f$ au point $A$ de coordonnées $\couple{\frac{1}{\e}}{\e}$ ;
\item la tangente $T_B$ à la courbe $\calc_f$ au point $B$ de coordonnées $\couple{1}{2}$.
\end{itemize}
La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées $\couple{3}{0}$ et l’axe des ordonnées au point de coordonnées $\couple{0}{3}$.
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere(-1,6,1.5cm,-0.7,3.5,1.5cm);
defaultscale:=0.8;
 draw quadrillage(0.5,0.5);
 draw axes(0.5,0.5);
 vardef f(expr x)=(2+ln(x))/x enddef;
 path C,T_A,T_B;
 C:=courbefonc(f)(0.1,7.5,200);
 T_A=droite(0,exp(1));
 T_B=droite(-1,3);
 pair A,B;
 A=(exp(-1),exp(1));B=(1,2);
 draw C couleur violet epaisseur 1;
 draw T_A couleur gris epaisseur 1;draw T_B couleur gris epaisseur 1;
 nomme.top(A);nomme.urt(B);
 nomme(T_A) couleur gris;
 nomme(T_B) couleur gris;
 nomme(C,LaTeX("\Large $\calc_f$")) couleur violet;
fin;
\end{emp}
\end{center}
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{partie}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\left(\frac{1}{\e}\right)$  et de $f'(1)$.
\item En déduire une équation de la droite $T_B$.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie  sur $\oinf$ par :
\[ f(x)=\frac{2+\ln(x)}{x} \] 

\begin{enumerate}
\item Par le calcul, montrer que la courbe $\calc_f$ passe par les points $A$ et $B$ et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $\pI$. 
\item  Montrer que, pour tout $x\in\oinf$, \[ f'(x)=\frac{-1-\ln(x)}{x^2} \]
\item Dresser le tableau de variations de  $f$ sur $\oinf$. 
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.

On admet que, pour tout $x\in\oinf$, \[ f''(x)=\frac{1+2\ln(x)}{x^3} \]
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(7 points)]
\label{fonction}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. 
\item En déduire que si $x \geqslant \text{e}$ alors $f(x) \geqslant \text{e}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 


\[ \begin{cases}
u_0=5 \\
u_{n+1}=f(u_n) & \text{pour tout entier naturel $n$}
\end{cases} \] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
 
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$. 
		\item Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item Soit $\ell$ la limite de $\left(u_{n}\right)$. Montrer que $f(\ell)=\ell$, déterminer $\ell$. 
	\end{enumerate} 
% \item On donne l'algorithme suivant :
% 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|l|}\hline 
% $X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\
% Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\
% Tant que $X > 2,72$ \\
% \hspace{0,5cm}Faire\\
% \hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ 
% \hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ 
% Fin de Tant que\\
%  Afficher $Y$\\ \hline
% \end{tabular}
% 
% \end{center}
%  
% À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
% 
% \medskip
% 
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize} X|}}\hline 
% $n$ &0& 1 &2 &3 &4  &5\\ \hline 
% $u_{n}$&$5$&\np{3,1066746728} &\np{2,7406525323} &\np{2,7183726346}& \np{2,71828183001} &\np{2,7182818285}\\ \hline
% \end{tabularx} 
\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center}
\textbf{Exercice \ref{fonction}}


\textbf{\large À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,11)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.1}{8}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(8,11)
\end{pspicture}
\end{center}



\end{exercice}


\newpage

\begin{exercice}[(7 points)]
\textbf{Commun à tous les candidats}



Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que : 

\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\oij$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude du cas}~\boldmath $k = 1$\unboldmath 

\medskip

On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par 

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$. 
% \item Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que : 
% 
% \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]
%  
% est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
% \item Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
% \item Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Propriétés graphiques} 

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.
 
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-0.1}{1.4}{2 x mul  2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-0.1}{1.4}{10 x mul  2.71828 x 10 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-0.1}{1.4}{3 x mul  2.71828 x 3 mul exp div}
\psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul}
\uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){$\mathcal{C}_{a}$}
\uput[d](0.68,0.26){$\mathcal{C}_{b}$}
\uput[ur](0.9,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes 
$\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
\item  
	\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a 
			
			\[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
			 
			\item Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum. 
			\item En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche. 
			\item Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère. 
			\item En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
