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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{Devoir n\up{o} 6 : Un sujet d'exponentielle (40min)}{}{T\up{ale} }{2 décembre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}


On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$. 



\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par 

\[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]
 
Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
 
En déduire que $g(x)\geq 0$ sur $\R$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. 

Démontrer que, pour tout réel $x$, 

\[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
 
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.
 
Démontrer que $- 1 < \alpha < 0$.  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$  au point d'abscisse $0$.
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.
	\end{enumerate} 
\item
\begin{enumerate}
		\item Calculer $f''$ et déterminer la convexité de $f$ et donner les points d'inflexions,
		\item Donner une autre démonstration de 6.b
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
