\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 5 : Continuité (2h)}{}{T\up{ale} }{18 novembre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}[(2 points)]

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
\item $\dfrac{7}{(x^2+3)^4}$; \ \ \ $\cald=\R$.
% \item $\left(\dfrac{1-x}{x^2+1}\right)^{11};\ \ \ \cald=\R$
\item $(4x+1)\sqrt{3x^2+1}$; \ \ \ $\cald=\R$.
% \item $\sqrt{\dfrac{5}{(x^2+9)}}$; \ \ \ $\cald=\R$.
\end{enumerate} 
\end{multicols}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 
Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]
                 
                 
\item $ \ds \sqrt{\dfrac{6x^2-1}{2x^2-27x}};$ \quad en $\pI$                 
\item $\dfrac{-4}{x^2+2x}$ ; \quad en $-2+$      

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(2 points)]
Soit $f$ définie sur $\R$ par 
\[
 f(x)=\sysd{x^2 \text{~~~~~ pour $x>-2$ }}{-x^3-4 \text{~~~~~ pour $x\leq -2$}}
\]

Etudiez la continuité de $f$ en $-2$.
 \end{exercice}
 
 
\begin{exercice}[(5 points)]
 Soit $(u_n)$ une définie par récurrence par $u_0=0,1$ et 
 \[
  u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}
 \]
\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de la fonction $f : x \longmapsto \dfrac{2x+3}{x+4}$ sur $I=]-4;\pI[$.
 \item Montrer que pour tout $n\in \N$ on a 
 \[
  0\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1
 \]
 \item En déduire que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ que vous déterminerez.

\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage
 \begin{exercice}[(8 points)] Soit $f$ définie sur $D=]-1;\pI[$ par
 \[
  f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}
 \]
   \begin{enumerate}
\item {\bf Etude d'une fonction auxiliaire}

Soit $g$ définie sur $D$ par $g(x)=2x^3-3x^2-1$.
  \begin{enumerate}
   \item Etudier $g$ et dresser son tableau de variation.
   \item Montrer que $g$ admet une unique racine $\alpha$ dont vous donnerez une valeur approchée à $10^{-3}$.
   \item Donnez le signe  de $g$
  \end{enumerate}

  \item {\bf Etude de {\boldmath$f$} }
   \begin{enumerate}
   \item Calculer $f'(x)$ et montrer que 
  \[
   f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x^3+1)^2}
  \]
\item Etudiez les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
  \end{enumerate}
  
   \item {\bf Algorithmes }
   \begin{enumerate}
    \item Complétez le programme suivant (lignes 8,9,11) afin qu'il donne un encadrement à $10^{-4}$ de $\alpha$. Quel est le nom de ce type d'algorithme ?

\begin{lstlisting}[language=python]
def g(x):
    return 2*x**3-3x**2-1
e=0.0001
a=1
b=2
while (b-a)>e :
    m=(a+b)/2
    if ....... :
        b=.....
    else :
        a=.....
                    
print(a,"< alpha <",b)
\end{lstlisting}


   
\item Un élève dit qu'il a inventé un autre programme astucieux. Pouvez-vous préciser ce qu'il fait et en combien de boucles au maximum ?

\begin{lstlisting}[language=python]
def g(x):
    return 2x**3-3x**2-1
h=0.1
a=1
while h>0.0001 :
    while g(a)g(a+h)>0 :
        a=a+h
    h=h/10 
print(a,"< alpha <",a+h)
\end{lstlisting}

\item {\bf Seulement en bonus}

Combien de boucles fait le premier algorithme ? Lequel est le meilleur ?

   \end{enumerate}

  \end{enumerate}

 \end{exercice}








\end{empfile}
\end{document}


 
