\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 1 : Suites (1h15)}{}{T\up{ale} }{21 septembre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 \begin{exercice}[(4 points)] Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\N$ par $u_{n+1}=(u_n-2)^2+1$ et $u_0=\dfrac{3}{2}$.
 
 Montrer que pour tout $n\in \N$, on a $1\leq u_n \leq 2$.
\end{exercice}



\begin{exercice}[(5 points)]      
Déterminer les limites des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}%[itemsep=6cm]
 \item $u_n=n^3-\dfrac{1}{n^2}$,  $n\in \N$.
 \item $v_n=2n^3-5n^4$, $n\in \N$.
 \item $w_n=n^2-n(-1)^n$, $n\in \N$.
 \item $z_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+......+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ ~~~($n \in \N^*)$
\end{enumerate}
 
\end{multicols}
\end{exercice}


 \begin{exercice}[(3 points)]
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
\begin{enumerate}%[itemsep=6cm]
 \item $u_{n+1}={u_n}-n^3-1$ pour $n\in \N^*$ et $u_0=3$.
 \item $v_{n+1}=(v_n)^2+3v_ n+1$ pour $n\in \N^*$ et $v_0=3$.
 \end{enumerate}
\end{exercice}

 
 
 \begin{exercice}[(5 points)]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=\frac{1}{2}$ et la relation de
récurrence $u_{n+1}=-\frac{2}{3}u_n+5$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
Sur le graphique ci-joint, représenter la fonction affine $x\mapsto
-\frac{2}{3}x+5$ puis les 5 premiers termes de la suite $(u_n)$ sur
l'axe des abscisses.
\item Quelle conjecture peut-on faire sur $\ds\lim_{n
  \rightarrow \infty}  u_n$ ?
\end{enumerate}
\item On définit pour tout entier $n \in \N$ la suite $(v_n)$ par
  $v_{n}=u_n-3$. 


\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la
  raison.
\item Exprimer $(v_n)$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $(u_n)$ en fonction de $n$ et déterminer $\ds\lim_{n
  \rightarrow \infty}  u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

% {\bf Annexe : } $\ $\\
\[\includegraphics{repere-vide2012.ps}\]

\end{exercice}

\newpage
 \begin{exercice}[(3 points)]
Soit $m\in \R$ un paramètre. On considère les fonctions $f_m$ définies sur $\R$ par $f_m(x)=mx^2$. Vous trouverez le sur le graphe ci-dessous le graphe $\calc_m$ de certaines fonctions $f_m$.

On considère $\cald$ la droite d¡équation $y=-x-2$.

\begin{enumerate}
 \item Conjecturer selon les valeurs de $m$ le nombres de points d'intersection de $\calc_m$ et $\cald$.
 \item Démontrer votre conjecture par le calcul.
\end{enumerate}
\begin{center}
 
\begin{emp}(0,0)
 % Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
coul:=0.2white;
drawoptions(withcolor noir);
% Fin style quadrillage
prefnomme:="left"; 
u:=0.8cm;
repere(-8,8,u,-6,22,u);
path Cf_[];
path Cg_[];
vardef fa(expr x)=0.1*x*x enddef;
Cf_1=courbefonc(fa,-8,8,100);
vardef fb(expr x)=0.25*x*x enddef;
Cf_2=courbefonc(fb,-8,8,100);
 vardef fc(expr x)=0.5*x*x enddef;
Cf_3=courbefonc(fc,-8,8,100);
 vardef fd(expr x)=1*x*x enddef;
Cf_4=courbefonc(fd,-8,8,100);
% vardef fe(expr x)=1.5*x*x enddef;
% Cf_5=courbefonc(fe,-8,8,100);
vardef ff(expr x)=2*x*x enddef;
Cf_5=courbefonc(ff,-8,8,100);
% vardef fg(expr x)=0.8*x**2 enddef;
% Cf_7=courbefonc(fg,-8,8,100);
% vardef fh(expr x)=x**2 enddef;
% Cf_8=courbefonc(fh,-8,8,100);
% vardef fj(expr x)=1.5*x**2 enddef;
% Cf_9=courbefonc(fj,-8,8,100);
% vardef fk(expr x)=2*x**2 enddef;
% Cf_10=courbefonc(fk,-8,8,100);

vardef ga(expr x)=0-0.1*x*x enddef;
Cg_1=courbefonc(ga,-8,8,100);
vardef gb(expr x)=0-0.25*x*x enddef;
Cg_2=courbefonc(gb,-8,8,100);
 vardef gc(expr x)=0-0.5*x*x enddef;
Cg_3=courbefonc(gc,-8,8,100);
 vardef gd(expr x)=0-1*x*x enddef;
Cg_4=courbefonc(gd,-8,8,100);
% vardef ge(expr x)=0-1.5*x*x enddef;
% Cg_5=courbefonc(ge,-8,8,100);
vardef gf(expr x)=0-2*x*x enddef;
Cg_5=courbefonc(gf,-8,8,100);
% vardef gg(expr x)=0-0.8*x**2 enddef;
% Cg_7=courbefonc(gg,-8,8,100);
% vardef gh(expr x)=0-x**2 enddef;
% Cg_8=courbefonc(gh,-8,8,100);
% vardef gj(expr x)=0-1.5*x**2 enddef;
% Cg_9=courbefonc(gj,-8,8,100);
% vardef gk(expr x)=0-2*x**2 enddef;
% Cg_10=courbefonc(gk,-8,8,100);


% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1)  epaisseur 0.5;
draw axes(1,1) epaisseur 1.5;

% Dessin courbes
for i=1 upto 5: draw Cf_[i] withpen pencircle scaled 1.3; endfor
for i=1 upto 5: draw Cg_[i] withpen pencircle scaled 1.3; endfor
% draw Cf_1 epaisseur 1.3;

% Nom des courbes
% nomme(Cf_1);
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{f}$"));
 
 
nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$")); 
nomme(Cf_2,LaTeX("$\calc_{0,25}$")); 
nomme(Cf_3,LaTeX("$\calc_{0,5}$")); 
nomme(Cf_4,LaTeX("$\calc_{1}$")); 
nomme(Cf_5,LaTeX("$\calc_{2}$")); 
% nomme(Cf_6,LaTeX("$\calc_{2}$")); 
% nomme(Cf_7,LaTeX("$\calc_{0,8}$")); 
% nomme(Cf_8,LaTeX("$\calc_{1}$")); 
% nomme(Cf_9,LaTeX("$\calc_{1,5}$")); 
% nomme(Cf_10,LaTeX("$\calc_{2}$")); 



nomme(Cg_1,LaTeX("$\calc_{-0,1}$")); 
nomme(Cg_2,LaTeX("$\calc_{-0,25}$")); 
nomme(Cg_3,LaTeX("$\calc_{-0,5}$")); 
nomme(Cg_4,LaTeX("$\calc_{-1}$")); 
% nomme(Cg_5,LaTeX("$\calc_{-1,5}$")); 
nomme(Cg_5,LaTeX("$\calc_{-2}$")); 
% nomme(Cg_7,LaTeX("$\calc_{-0,8}$")); 
% nomme(Cg_8,LaTeX("$\calc_{-1}$")); 
% nomme(Cg_9,LaTeX("$\calc_{-1,5}$")); 
% nomme(Cg_10,LaTeX("$\calc_{-2}$")); 
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$")); 
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$")); 
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$")); 
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$")); 
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$")); 
 draw cadre;
 drawoptions();
fin;
\end{emp}

\end{center}

\end{exercice}



\begin{exerciced}[(bonus)]
 Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 4$ on a :
 \[
  2^n\geq n^2
 \]
\end{exerciced}



\end{empfile}
\end{document}


 
