\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 3 : Suites (2h)}{}{T\up{ale} }{14 octobre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 %ex5 ds2 oct 2019
 

\begin{exercice}[(4 points)]
Déterminer les limites des suites suivantes :
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}%[itemsep=6cm]
 \item $u_n=2^{2n}-3^n$, $n\in \N$.
%  \item $v_n=\dfrac{3n^4-5n^2}{2n^3+1}$, $n\in \N$.
 \item $v_n=1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}+......+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ ~~~($n \in \N^*)$
 \item $w_n=\dfrac{\sin(n^3)}{n^2+1}$ ~~~$(n \in \N)$
 \item $z_n=\dfrac{0,2^n-0,3^n}{0,2^n+0,3^n}$, $n\in \N^\star$.
\end{enumerate}
 
\end{multicols}

\end{exercice}

 \begin{exercice}[(6 points)]
%    Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.\\
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.\\
\medskip

% \textbf{Partie A :} 
Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_0		&=&0,3\\
u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right)
\end{array}\right.\]
où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
\item  On admet que, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
	\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\\
	      Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
	\end{enumerate}
\item  Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction.\\
      On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année
      \textbf{avant} laquelle il reste au moins $30$~tortues.\\
      Compléter le programme Python afin qu'il satisfasse cette exigence.
	
	
\linespread{2}
\begin{lstlisting}[language=python]
u=...
n=...
while ......  : 
    u=...
    n=...
print(...)

\end{lstlisting}

% 
% 
% \begin{center}
% \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
% \textbf{Variables} : 	&$u$ est un réel\\
% 			&$n$ est un entier naturel\\
% \textbf{Traitement} : 	&$u$ prend la valeur $0,3$\\
% 			&$n$ prend la valeur $0$\\
% 			&Tant que \:\ldots \ldots \ldots \ldots\: faire :\\
% 			&\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}\\
% 				~\\
% 				~\\
% 				~\\
% 			\end{tabular}\\						
% 			&Fin Tant que\\
% \textbf{Sortie} : 	&Afficher \:\ldots \ldots \ldots \\ \hline
% \end{tabularx}
% \end{center}
\end{enumerate}

% 
% \textbf{Partie B :} Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite 
% $\left(v_n\right)$ définie par :
% \[\left\{\begin{array}{r c l}
% v_0		&=&0,032\\
% v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right)
% \end{array}\right.\]
% où pour tout entier naturel $n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2010+n$.
% 
% \begin{enumerate}
% \item Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
% \item On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie :
%       \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
% \item Quel sera l'avenir de cette population de tortues ? Est-elle encore en voie d'extinction ?
% \end{enumerate}
 \end{exercice}
 
 \begin{exercice}[(4 points)]
  Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,7$ et pour tout $n \in \N$,\:
\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}=f\left(u_n\right)\]
où $f$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{3x}{1+2x}$.\\

\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ est sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n  \leqslant 1$
% \vspace{0.2cm}
\item Montrer que $(u_n)$ est croissante.
% \vspace{0.2cm}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
% \vspace{0.2cm}
\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$. Déterminer la limite $\ell$.   
\end{enumerate}
 \end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[u_{n+1}= \dfrac{3u_n}{3+2u_n}\]

 Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{3}{u_n}$.
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique.
	\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
	\item Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ?
	\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(3 points)]
 \emph{Pour chacune des propositions suivantes, 
 indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. 
 Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.}
 
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[t_{0} = 0~\text{et pour tout entier naturel}~n,~t_{n+1} = t_{n} +  \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}.\]
	
\textbf{Affirmation : }  Pour tout entier naturel $n,~t_{n} = \dfrac{n}{n+1}$

\item  Soit $(v_n)$ une suite telle que  pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1,

\[- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}\]

\textbf{Affirmation : } La suite $\left(v_n\right)$ converge.

\item 
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que pour tout $n\in\N$, $v_n=u_n\sqrt{n}$.

\textbf{Affirmation : } Si $(v_n)$ converge alors il en est de même pour $(u_n)$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

%  ex 3 ds3 oct 2019
 
\begin{exercice}[(seulement en bonus (1 point)]
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :

\[nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1\quad  \text{et}\quad  w_{0} = 1.\] 

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

	\begin{enumerate}
		\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\np{2009}}$.
	\end{enumerate} 


\end{exercice}




\end{empfile}
\end{document}


 
