\documentclass[11pt]{article}
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\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=2.5cm}
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\newcommand{\e}{\E}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}

\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 11 (1h30) - Espace}{}{T\up{ale}S 2 }{3 mai 2020.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

% \begin{exercice}
%  Calculer les intégrales suivantes :
%  \begin{multicols}{2}
 
\begin{exercice}
% Voir http://nm.maths-lfb.fr/ts/ts-12-13/DS11-Correction.pdf

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\oijk$.

On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$.

On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&-1-t\\
y&=&2+t\quad(t\in\R)\\
z&=&1-t
\end{array}
\right.
\]
On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.}

On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée en annexe.
\begin{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est une vecteur directeur de la droite $\Delta$.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$.
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$.
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Calculer la longueur $HH'$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$.
		\item En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure.
	\end{enumerate}
\emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
\psline(0,5)(4,6)
\psline(4,6)(4,0)
\psline(4,0)(0,-1)
\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
\psline(0,-0.25)(0.25,-0.19)
\psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19)
\psline(-0.25,2.81)(0,2.75)
\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 
L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $\oijk$. On considère les points A, B et C de coordonnées

respectives (1 ;  0 ;  2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$.

Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

 En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

\end{enumerate}

\item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et $x - 2y +   6z = 0$.

\begin{enumerate} \item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques. 

\item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
