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\newcommand{\e}{\E}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}

\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 10 (1h15 min) - Test calcul d'intégrales}{}{T\up{ale}S 2 }{25 mars 2020.}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

% \begin{exercice}
%  Calculer les intégrales suivantes :
%  \begin{multicols}{2}
  \begin{exercice}
  
  Calculer les intégrales suivants :
  
  \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect I_{\arabic*} = \ $}
%                 ,itemsep=24cm
                 ]
     \item $\ds\int_0^{1} \dfrac{1}{(2x+3)^3} \,dx$     
     \item $\ds\int_0^1 \dfrac{\E^{3x+1}}{1+\E^{3x}}, dx$
%   \item  $\ds\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\sin (2x)}{(1+\cos (2x))^4}\, dx$
 % \item  $\ds\int_0^3 x\E^{-x^2} \, dx $
 % \item  $\ds\int_1^\E \dfrac{\E^{x}}{(\E^x+1)^3}\, dx$


 %\item $\ds\int_1^2 \dfrac{x^3}{x^4+1}\, dx$
%  \newpage
   
   \item $\ds\int_{0}^{2} (x^2+1)^2 \,dx$
   \item [] \phantom{dfsdf}
   
 \end{enumerate}
\end{exercice}
 
%  \end{multicols}


\begin{exercice}
 
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère $\oij$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$ et trois autres courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ avec la tangente en leur point d'abscisse $0$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.5}{1.2}{x 2 add 2.71828 x 2 div exp mul}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1,4.3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{1.2}{ x 2 mul  2.71828 x 2 div exp mul 2 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.4,0.8){$d_{1}$}
\uput[u](-2,-3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](0.9,1){$d_{2}$}
\uput[u](-2,-1.2){$\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{1}{4 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.3,1){$d_{3}$}
\uput[u](1,1.2){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.9}{3.5 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul 0.5 add}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique, le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\item On désigne par $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.\index{primitive}
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la courbe $\mathcal{C}$, déterminer $F'(0)$ et $F'(- 2)$. 
		\item L'une des courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ est la courbe représentative de la fonction $F$. 

Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\begin{enumerate}
\item L'observation de la courbe $\mathcal{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 
\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$.
		 
Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I$.
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
			&$s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
	&Fin de boucle.\\ 
Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
		
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,0.65){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 



\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
