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\newcommand{\e}{\E}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{Devoir n\up{o} 8 : Fonction ln (1h)}{}{T\up{ale} S2 }{13 février 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{20pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 
\begin{exercice}
%antilles guyane juin 2016
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par 

\[f(x) = x\e^{1-x^2}.\]\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

\emph{Indication : on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de }\:$0$, 
$f(x)=\dfrac{\e}{x}\times\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.

\smallskip

On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à 0.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée.\\
Démontrer que pour tout réel $x$,

\[f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}.\]
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.
\begin{center}

\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 2,arrowinset=0.25,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2.7,-1.6)(3.2,2.75)
\multips(0,-1)(0,0.5){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.7,0)(3.2,0)}
\multips(-2,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.7)(0,2.7)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2.7,-1.7)(3.2,2.75)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{x*EXP(1.0-x^(2.0))}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{EXP(1.0-x)}
\begin{scriptsize}
\uput[45](-1,-1){\qqwuqq{$C_f$}}
\uput[-135](0.5,1.6487212707){\ccqqqq{$C_g$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Le but de cette partie est d'étudier la position relative de ces deux courbes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre~?
\item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~0]$, $f(x)<g(x)$.
\item Dans cette question, on se place dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.\\
On pose, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)=\ln x-x^2+x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif,
\[
f(x)\leqslant g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\leqslant 0.
\]
On admet pour la suite que $f(x) = g(x)$ équivaut à $\Phi(x)=0$.
\item On admet que la fonction $\Phi$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$. Dresser le tableau de variation de la fonction $\Phi$. (Les limites en $0$ et $+\infty$ ne sont pas attendues.)
\item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)\leqslant 0$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide~?
		\item Montrer que $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un unique point commun, noté $A$.
		\item Montrer qu'en ce point $A$, ces deux courbes ont la même tangente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

% \medskip
% 
% \textbf{Partie C}
% 
% \medskip
% 
% \begin{enumerate}
% \item Trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.\index{intégrale}
% \item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\text{d}x$.
% \item Interpréter graphiquement ce résultat.\hyperlink{Index}{*}
% \end{enumerate}
 \end{exercice}


 
\end{empfile}
\end{document}


 
