\documentclass[11pt]{article}
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% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 7 : Fonction exponentielle et nombres complexes}{}{T\up{ale} S2 }{28 janvier 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{20pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 


\begin{exercice}[(2 points) ]
%Ex 3 antilles guyane 16 juin 2017 ... sur exp et tangentes orthogonales

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^x\qquad \text{ et }\qquad  g(x) = \text{e}^{- x}.\] 

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan. 

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$. 

La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$. 

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$. 

\begin{center}
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(2.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{2.71828 x  exp}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2.5}{2.71828 x neg   exp}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{1.649 x mul  0.825 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{  0.875 0.607 x mul sub}
\psline(0.5,-1.25)(0.5,3.25)
\end{pspicture*}
}\hfill
\parbox{0.39\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&A   &B\\ \hline   
1	&\footnotesize Abscisse $a$&   \scriptsize Longueur $PQ$\\ \hline   
2	&$- 3$		&   2 \\ \hline   
3	&$- 2,5$	&   2\\ \hline    
4	&$- 2$		&   2 \\ \hline   
5	&$-1,5$		&   2 \\ \hline   
6	&$-1$		&   2 \\ \hline   
7	&$- 0,5$	&   2\\ \hline     
8	&0 			&   2\\ \hline    
9	&0,5		&   2 \\ \hline   
10	&1			&   2 \\ \hline   
11	&1,5		&   2\\ \hline    
12	&2			&   2 \\ \hline   
13	&2,5		&   2\\ \hline    
14	& 			&    \\ \hline 
\end{tabularx}}
\end{center}

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$ ? 
		\item Démontrer cette conjecture. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \end{exercice}



\begin{exercice}[(2 points) ]
\textbf{Partie A :} Soit la fonction $g$ définie sur $[0;\pI[$ par $g(x)=e^x-xe^x+1$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $\pI$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[0;,\pI[$ que l'on note $\alpha$ ;\par
      déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item Montrer que $e^\alpha=\dfrac{1}{\alpha-1}$.
\item Déterminer le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B :} Soit la fonction $f$ définie sur $[0;\pI[$ par $f(x)=\dfrac{4x}{e^x+1}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $\pI$.
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$ pour $x\geq 0$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ ; montrer que $f(\alpha)=4(\alpha-1)$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C :} On considère la fonction $h$ définie sur $[0;\pI[$ par $h(x)=\dfrac{4}{e^x+1}$.\par
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthonormal.\par
\vspace{0.3cm}

\begin{minipage}{8cm}
Pour tout réel $x\geq0$, on note :\par
$M$ le point de $\mathcal{C}$ de coordonnées $(x;h(x))$,\par
$P$ le point de coordonnées $(x;0)$,\par
et $Q$ le point de coordonnées $(0;h(x))$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}  
\begin{emp}(0,0)
 u:=1.3cm;
repere(-1,4,u,-1,3,u);
vardef h(expr x)=4/(2.71828**x+1) enddef;
% vardef g(expr x)=x*x+2x-1 enddef;
 path Ch,C_fa,C_fb,C_g;
 Ch=courbefonc(h,0,6,40);
%   C_g=courbefonc(g,-6,4,40);
% draw base(O,i,j);

 draw quadrillage(1,1) withcolor 0.7white;% dashed evenly;
 draw axexn(1,1) withpen pencircle scaled 1;
 draw axeyn(1,1) withpen pencircle scaled 1;
 
 draw Ch withpen pencircle scaled 1;
 prefnomme:="top";
 nomme(Ch);
% nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$"));
 %draw C_fa withpen pencircle scaled 1;
 %draw C_fb withpen pencircle scaled 1;
% draw C_g withpen pencircle scaled 1;
%  nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$"));
%  nomme(C_g);
%  MarquePoint(_c(-4,16));
%  MarquePoint(_c(2,10));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle $OPMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$ et donner un encadrement de cette aire (en unités d'aire).
\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}\par
      Si le point $M$ a pour abscisse $\alpha$, la tangente $(T)$ en $M$ à la courbe est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
\end{enumerate}
 
\end{exercice}


\begin{exercice}
 % liban 31 mai 2019 complexes

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\ouv$ d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M'$  
d'affixe $z'$ tel que 

\[z' = - \dfrac{1}{z}.\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$  image du point A par la fonction $f$. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction~$f$. 
		\item Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct $\ouv$. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents. 
	\end{enumerate}
\item Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$. 
		\item Est-il vrai que si un point $M$, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$  et de rayon $\dfrac{1}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$. 
		\item Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \end{exercice}


%Ex 3 20 juin 2016 antilles guyanes ln bien
  
\end{empfile}
\end{document}


 
