\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
 \input{tabvar}
% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-func}
% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 6 : Dérivabilité et continuité (1h30)}{}{T\up{ale} S2 }{9 décembre 2019}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{20pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 


\begin{exercice}[(2 points) ]

Calculer les dérivées des fonctions suivantes et les écrire sous forme simplifiée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
\item $\dfrac{1}{(3\sin x +5)^3};\ \ \ \cald=\R$
% \item $(2x^3+2x^2)^{5}$; \ \ \ $\cald=\R$.
% \item $\left(\dfrac{\cos(3x^2+5)}{x+2}\right)^3$; \ \ \ $\cald=\R\setminus\{-2\}$.
\item $\sqrt{\cos{x+2}};\ \ \ \cald=\R	$

\end{enumerate} 
\end{multicols}

\end{exercice}




\begin{exercice}[(1 point)]

Déterminer la limite de chacune des fonctions dans l'endroit indiqué.

 \begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $},itemsep=.4cm]
\item $\dfrac{\sin 4x}{5x}$ en $0$.
% \item $\dfrac{\sin 4x}{\sin 3x}$ en $0$ .
\end{enumerate}
 
\end{multicols}
\end{exercice}


 
\begin{exercice}[(8 points) ]
 \textbf{Partie A :} Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x)=4x^3-3x-8\]

\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$. 
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution dans $\R$ que l'on note $\alpha$. \par
      Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item Déterminer le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\vspace{0,2cm}

\textbf{Partie B :} Soit la fonction $f$ définie sur $]\dfrac{1}{2};\pI[$ par \[f(x)=\dfrac{x^3+1}{4x^2-1}\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer la limite de $f$ en $\pI$.
       \item Déterminer la limite de $f$ en $\dfrac{1}{2}$ ; que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
      \end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
       \item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(4x^2-1)^2}$.
       \item Dresser le tableau de variations de $f$.
      \end{enumerate}

\item En utilisant la définition de $\alpha$, montrer que $f(\alpha)=\dfrac{3}{8}\alpha$ ; en déduire un encadrement de $f(\alpha)$ à $10^{-2}$.
      
\end{enumerate}

\textbf{Partie C :} On souhaite déterminer un encadrement de $\alpha$ par balayage. Nous disposons des algorithmes suivants et un seul fonctionne.
\begin{enumerate}
 \item  Préciser lequel et pourquoi.
 \item Combien de tours de boucles fait-il environ ?
\end{enumerate}


\begin{multicols}{3}
 
Programme 1
\begin{lstlisting}[language=python]
h=0.01
a=1
while g(a)*g(a+h)>0:
    a=a+h

print(a,"< alpha <",a+h)
\end{lstlisting}


Programme 2
\begin{lstlisting}[language=python]
h=0.01
a=1
while g(a)*g(a+h)<0:
    a=a+h

print(a,"< alpha < ",a+h)
\end{lstlisting}


Programme 3
\begin{lstlisting}[language=python]
h=0.01
a=1
while g(a)*g(a+h)>0:
    a=a+h
    print(a,"< alpha <",a+h)
    

\end{lstlisting}
\end{multicols}




\textbf{Partie D :} {\bf Seulement en bonus (1 point)}

Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=\dfrac{1}{4}x$. (on pourra s'aider de la calculatrice)
      \begin{enumerate}
       \item Conjecturer les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$.
       \item Pour tout réel $x> \dfrac{1}{2}$, on considère les points $M$ et $N$ d’abscisses $x$ respectivement sur $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$.\par
	      Que peut-on conjecturer sur la distance $MN$ lorsque $x$ tend vers $\pI$ ?
      \item Démontrer les conjectures précédentes.
      \end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
 \begin{multicols}{2}
\noindent Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^4+2x^2+x$. On
  note $\calc_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère
  $(O, \vect i, \vect j)$  et $A$ le point de coordonnées $(0;1)$. 
\begin{enumerate}
\item  On cherche à déterminer la tangente (ou les tangentes)  à $\calc_f$ passant par le
  point $A$.\\
 Soit $\Delta_a$ la tangente à $\calc_f$ au point d'abscisse $a$. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $A \in \Delta_a$ équivaut à $3a^4-2a^2-1=0$.
\item  Résoudre cette dernière équation. 
\item  En déduire les équations des tangentes passant par $A$ ainsi que les points de contact avec
  la courbe.
\item  Quelle observation particulière peut-on faire ? 
\end{enumerate}
\item  Soit $\cald$ la droite d'équation $y=x+1$. Quelles sont les
  droites tangentes à $\calc_f$ et parallèles à la droite $\cald$ ? 
\end{enumerate} 
\hspace{1cm}\includegraphics[scale=0.8]{./G26/courbe61.ps}
\end{multicols}
\end{exercice}




\begin{exercice}[(5 points)]$\ $
\begin{textefig}
 \begin{figmp}
u:=1.2cm;
repere(-3,3,u,-2,2,u);
vardef f(expr x)=(3*x-2)/(x+2) enddef;
vardef g(expr x)=x*x+2x-1 enddef;
 path C_fa,C_fb,C_g;
% Cf=courbefonc(f,-4,2,40);
 C_fa=courbefonc(f,-6,-2.01,40);
  C_fb=courbefonc(f,-1.99,4,40);
  C_g=courbefonc(g,-6,4,40);
% draw base(O,i,j);

 draw quadrillage(.5,.5) withcolor 0.2white dashed evenly;
 draw axexn(1,1); 
 draw axeyn(1,1); 
 
% draw Cf withpen pencircle scaled 1;
% nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$"));
% draw C_fa withpen pencircle scaled 1;
% draw C_fb withpen pencircle scaled 1;
% draw C_g withpen pencircle scaled 1;
%  nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$"));
%  nomme(C_g);
%  MarquePoint(_c(-4,16));
%  MarquePoint(_c(2,10));
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{figmp}


\begin{enonce}
Dans ce problème,le but est de représenté dans un repère orthonormé l'ensemble $\cale$ des points $M(x;y)$ du plan tels que :
\[
 \dfrac{x^2}{4}+y^2=1
\]


\end{enonce}

\end{textefig}

\begin{enumerate}
 \item Expliquer brièvement pourquoi $\cale$ n'est pas un cercle.
 \item Montrer que $M(x;y)\in\cale \ssi x\in [-2;2]$ et $y=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}$ ou $y=-\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}$.
 
  On pose $f(x)=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}$ sur $[-2;2]$.
  \item Montrer que $f$ est paire.
	\item On souhaite étudier la dérivabilité de $f$ en 2. 
	\begin{enumerate}
	 \item Montrer que le taux d'accroissement de $f$ en 2 vaut pour tout $x \in ]-2;2[$
	 \[
	  t(x)=\dfrac{\sqrt{(2-x)(2+x)}}{2(x-2)}
	 \]
	\item Conclure sur la dérivabilité de $f$ en 2 et en donner une interprétation géométrique. 
	\end{enumerate}
	
        \item Pour $x\in ]-2;2[$ déterminer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;2]$
      
\item Sur le repère ci contre tracer sommairement la fonction $f$ puis la courbe $\cale$.
\end{enumerate}

\end{exercice}



% 
% \begin{exercice}[(5 points)]$\ $
% \begin{textefig}
%  \begin{figmp}
% u:=0.8cm;
% repere(-3.5,3,u,-5,5,u);
% vardef f(expr x)=1/x enddef;
% vardef g(expr x)=x*x enddef;
%  path C_fa,C_fb,C_g;
% % Cf=courbefonc(f,-4,2,40);
%  C_fa=courbefonc(f,-6,-0.01,40);
%   C_fb=courbefonc(f,0.001,5,40);
%   C_g=courbefonc(g,-6,6,40);
% % draw base(O,i,j);
% 
%  draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
%  draw axexn(1,1); 
%  draw axeyn(1,1); 
%  
% %  draw Cf withpen pencircle scaled 1;
% %  nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$"));
%  draw C_fa withpen pencircle scaled 1;
%  draw C_fb withpen pencircle scaled 1;
%  draw C_g withpen pencircle scaled 1;
% %  nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$"));
%   nomme(C_g);
% %  MarquePoint(_c(-4,16));
% %  MarquePoint(_c(2,10));
%  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
% fin;
% \end{figmp}
% 
% 
% \begin{enonce}
% On définie $f(x)=\dfrac{1}{x}$ la fonction inverse sur $\R^\star$ et $g(x)=x^2$ la fonction carrée définie sur $\R$. Les courbes représentatives sont données ci-contre.
% 
% On souhaite déterminer s'il existe des tangentes communes aux deux courbes.
% 
% Pour $a\in \R^\star$, et $b \in \R$, on définie $T_a$ la tangente à $\cal_f$ au point d’abscisse $a$ et $T'_b$ la tangente au point d'abscisse $b$ à $\calc_g$.
% 
% \begin{enumerate}
%  \item A l'aide du graphique conjecturer ou non l'existence d’une telle tangente. Quels sont alors les points de contact ?
%  \item Calculer $f'(x)$ et donner l'équation réduite de $T_a$.
%  \item Calculer $g'(x)$ et donner l'équation réduite de $T'_b$.
%  \item En déduire que $T_a$ et $T'_b$ sont tangentes communes si est seulement si 
%  \[
%   2b=-\dfrac{1}{a^2} \quad \quad\quad \text{ et } \quad \quad\quad\dfrac{2}{a}=-b^2
%  \]
% \item En déduire que $b^3=-8$.
% \item Déterminer alors $b$, $a$ et conclure.
% \end{enumerate}
% 
% \end{enonce}
% 
% \end{textefig}
% \end{exercice}






\end{empfile}
\end{document}


 
