\documentclass[11pt]{article}
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 \input{tabvar}
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% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=3cm,vmargin=3cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 5 : Autour de la forme algébrique (1h)}{}{T\up{ale} S2 }{27 novembre 2019}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 



 
\begin{exercice}[(6 points) ]
Résoudre les équations suivantes dans $\C$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
\item $(2-\i)z+1=0$
\item $(3+2\i)(z-1)=\i$
\item $-3\i\bar{z}+2=4\i;$
\item $2z+\i\bar z = 5-2\i$
\item $z^3-8z^2+25z=0$.

\end{enumerate}
\end{multicols}


\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points) ]
 Calculer sous forme algébrique :
 \[
  S=1+\i+\i^2+\dots+\i^{101}
 \]

\end{exercice}



\begin{exercice}[(2 points) ]
On rappelle que si $z=x+\i y$ avec $x,y \in \R$ alors $\bar z=x-\i y$.

Démontrer la propriété suivante pour tout $z\in \C^\star$ :
\[
 \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\bar z}
\]


\end{exercice}


\begin{exercice}[(10 points) ]
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $\ouv$, on associe à tout point $M(z)$ avec $z\neq 2\i$, le point $M'$ d'affixe $z'$ donnée par
\[
 z'=\dfrac{z-3}{\i z+2}
\]

On désigne par $A$ le point d'affixe 3 et $B$ celui d'affixe $2\i$.

\begin{enumerate}
 \item On pose $z=x+\i y$ avec $x,y\in\R$. Donner alors la forme algébrique de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.
 
 On montrera en particulier que 
 \[
  \Im z' = \dfrac{-x^2-y^2+3x+2y}{x^2+(2-y)^2}
 \]
\item Soit $\cale$ l'ensemble des point $M(z)$ tels que $z' \in \R$. Déterminer la nature de $\cale$ et donner ses éléments caractéristiques.
\item Soit $\calf$ l'ensemble des point $M(z)$ tels que $z'$ imaginaire pur. Déterminer la nature de $\calf$ et donner ses éléments caractéristiques.

\end{enumerate}


\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
