\documentclass[11pt]{article}
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% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 3 : Suites (1h15)}{}{T\up{ale} S2 }{22 octobre 2019}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
\begin{exercice}[(7 points) ]
 Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par :
\[\left\{\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+8}{2u_n+1} \quad \text{pour tout } n\in \N
\end{array}
\right. \]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+8}{2x+1}$ dont la courbe représentative $\calc$ est donnée ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Représenter les premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ de la suite $(u_n)$ sur l'axe des abscisses. 
Puis faire une conjecture quant à l'éventuelle limite de la suite $(u_n)$.
%\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Vérifier que $(u_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
\item Soit $(v_n)_{n\geq 0}$ définie par :
\[v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\]
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\item On note $S_n=v_0+v_1+\dots v_n$.
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
 %prefnomme:="left";

repere(-0.5,4,1.5cm,-1,4,1.5cm);

vardef f(expr x)= (x+8)/(2x+1) enddef;

path Cf;

Cf=courbefonc(f,-0.499,4,60);

%draw base(O,i,j);

draw quadrillage(1,1) dashed evenly;

draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 1.5;
  % ne met pas le 0 à l'origine

draw Cf withpen pencircle scaled 1.5;

nomme(Cf,"$C_{f}$");

draw cadre withpen pencircle scaled 2;

fin;
\end{emp}

\end{center}
\end{exercice}


 
\begin{exercice}[(8 points)]
% La réunion septembre 2019
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par

\[f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :\index{suite}

\[u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\;  u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On admet que cette suite est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~4].
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{limite de suite}
		\item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ;  On admet que :

\[\ell  = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}\]

		\item Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}




\begin{exercice}[(5 point)]
 % nouvelle caledonie mars 2017 3 points
 
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 

\[\left\{\begin{array}{r !{=} l}
u_0&0\\
u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0.
\end{array}\right.\]  

On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 	&A	&B					&C\\ \hline   
1	&	&$u_n$  			&$u_n$ \\ \hline      
2	&$n$&(en valeurs exactes)&(en valeurs approchées)\\ \hline
3	&0	&0 					&0\\ \hline     
4	&1	&1/2				&0,5 \\ \hline    
5	&2	&2/3				&\np{0,666666667}\\ \hline     
6	&3	&3/4 				&0,75 \\ \hline        
7	&4	&4/5				&0,8 \\ \hline      
8	&5	&5/6				&\np{0,833333333}\\ \hline      
9	&6	&6/7				&\np{0,857142857} \\ \hline    
10	&7	&7/8				&0,875 \\ \hline  
11	&8	&8/9				&\np{0,888888889}\\ \hline     
12	&9	&9/10				&0,9\\ \hline  
13	&10	&10/11				&\np{0,909090909}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   

Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge. 

\end{exercice}

\begin{exercice}[Bonus (1 point)]
 Montrer la question 4b de l'exercice II.
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
