\documentclass[10pt]{article}
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\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 15  - Intégrales et Espace (2h)}{}{T\up{ale}S 3 }{19 avril 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. 
Une justification succinte est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A$(1~;~- 1~;~- 1)$, B(1~;~1~;~1), C(0~;~3~;~1) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - z + 5 = 0$. 

\begin{enumerate}[label={\bf Question $\arabic*$ : }]
\item 

Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl}
x&=&\phantom{-}1 +  \phantom{2}t \\
y&=&- 3 - \phantom{2}t\\ 
z&=&\phantom{-}2 - 2 t
\end{array}\right. \quad (t \in \R)$.
 
\textbf{a.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants 

\textbf{b.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$. 

\textbf{c.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$.

\textbf{d.~~} La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{22}{3} \right)$.

\item  

\textbf{a.~~} L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point. 

\textbf{b.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus. 

\textbf{c.~~} Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite. 

\textbf{d.~~} Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles. 

\item 

Une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au dixième de degré est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 22,2~\degres&\textbf{b.~~} 0,4~\degres&\textbf{c.~~} 67,8~\degres &\textbf{d.~~} 1,2~\degres
\end{tabularx}

\item 
%\item
La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [GH] et  [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\psframe(1,0.2)(4.3,3.5)%ABFE
\psline(4.3,0.2)(5.1,1)(5.1,4.4)(4.3,3.5)%BCGF
\psline(5.1,4.4)(1.9,4.4)(1,3.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](1,0.2)(1.9,1)(1.9,4.4)%ADH
\psline[linestyle=dashed](1.9,1)(5.1,1)%DC
\psline(1,5.3)(6,3.5)%(IJ)
\psline(0.2,1.4)(2.65,1.85)%(..M]
\psline[linestyle=dotted](2.65,1.85)(4.7,2.25)%[MN]
\psline(4.7,2.25)(6,2.5)%[N...)
\uput[dl](1,0.2){A} \uput[d](4.3,0.2){B} \uput[r](5.1,1){C} 
\uput[l](1.9,1){D} \uput[l](1,3.5){E} \uput[dl](4.3,3.5){F} 
\uput[ur](5.1,4.4){G} \uput[ul](1.9,4.4){H} \uput[u](3.5,4.4){I} 
\uput[d](4.7,3.95){J} \uput[u](2.65,1.85){M} \uput[u](4.7,2.25){N} 
\psdots(1,0.2)(4.3,0.2)(5.1,1)(1.9,1)(1,3.5)(4.3,3.5)(1.9,4.4)(3.5,4.4) (4.7,3.95)(2.65,1.85)(4.7,2.25)
\end{pspicture}
\end{center}

Les droites (IJ) et (MN) sont : 

	\begin{enumerate}
		\item perpendiculaires 
		\item sécantes, non perpendiculaires 
		\item orthogonales 
		\item parallèles 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage 
\begin{exercice}[(8 points)]
% amerique du nord 
Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, \vect{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~3) dans ce repère.\index{géométrie dans l'espace} 

% \begin{center}
% \psset{unit=1cm}
% \begin{pspicture}(3.5,6)
% %\psgrid
% \pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS
% \psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS
% \psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES
% \psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC
% \psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5)
% \psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5)
% \psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7)
% \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} 
% \uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} 
% \uput[u](1.95,5.6){S} 
% \end{pspicture}
% \end{center}

%\vspace{2cm}
\begin{center}
\psset{unit=2.5cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(3,6)
\pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS
\psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS
\psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES
\psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC
\psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5)
\psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} 
\uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} 
\uput[u](1.95,5.6){S} 
\end{pspicture}
 \end{center}

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. 
\item Soit V le point d'intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. 
\item Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}~;~- \dfrac{1}{6}~;~0\right)$. 

Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$. 

Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$. \index{équation de plan}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S. \index{équation paramétrique de droite}
\item Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU). 
\item Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ? 
\end{enumerate}



\end{exercice}


\begin{exercice}[(8 points)]
 % asie juin 2014
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.
 
On note $f_{n}$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on définit le nombre $I_{n}$ par 

\[I_{n} = \int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 \dfrac{1}{1 + x^n}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item 

Les représentations graphiques de certaines fonctions $f_{n}$ obtenues à l'aide d'un logiciel sont tracées ci-après. 

%\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1.05,0){$x$}\uput[r](0,1.05){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 1 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 2 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 3 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 4 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 5 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 10 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 50 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 x 200 exp 1 add div}
\uput[d](0.3,0.77){$f_{1}$}
\uput[d](0.4,0.86){$f_{2}$}
\uput[d](0.5,0.9){$f_{3}$}
\uput[l](0.96,0.9){$f_{50}$}
\uput[r](0.98,0.93){$f_{200}$}

\end{pspicture}
\end{center}
%\end{figure}

En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer, pour la suite $\left(I_{n}\right)$ l'existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I_{1}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 

\[\dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant 1.\] 

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : $I_{n} \leqslant 1$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
 
\[1 - x^n \leqslant \dfrac{1}{1 + x^n}.\] 

\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \left( 1 - x^n\right)\:\text{d}x$. 
\item À l'aide des questions précédentes, démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\newpage
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}&  $n,\:p$ et $k$ sont des entiers naturels\\
					& $x$ et $I$ sont des réels\\
					&\\ 
\textbf{Initialisation :}& $I$ prend la valeur $0$\\
					&\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Demander un entier $n \geqslant 1$\\
					& Demander un entier $p \geqslant 1$\\ 
					&Pour $k$ allant de 0 à $p - 1$ faire :\\ 
					&\hspace{0,5cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{k}{p}$\\ 
					&\hspace{0,5cm} $I$ prend la valeur $I + \dfrac{1}{1 + x^n} \times \dfrac{1}{p}$\\ 
					&Fin Pour \\
					&Afficher $I$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cet algorithme si l'on entre les valeurs $n = 2$ et $p = 5$ ?
		 
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme. Les valeurs de $I$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$& $x$&$I$\\ \hline 
0&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
&&\\ \hline
4&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Expliquer pourquoi cet algorithme permet d'approcher l'intégrale $I_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\end{exercice}

\begin{exercice}[(Bonus)]
 Montrer que pour tout entier $n$ supérieur à 8 :
 \[
  n^{\sqrt{n+1}}> (n+1)^{\sqrt{n}}
 \]

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
