\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 10 (2h) - Ln,  exponentielle, complexes }{}{T\up{ale}S 3 }{1 février 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par 

\[z_0 = 2 + 3\text{i}\: \text{et,\:\: pour tout entier naturel }\:n \:\:\text{par}\: z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.\]

Pour quelles valeurs de $n$,\: $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
\end{exercice}




\begin{exercice}[(6 points)]$\ $\\
% Morceau de asie juin 2015
\parbox{0.6\linewidth}{Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_n(x) = x + \text{e}^{n (x - 1)}.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la
fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. 

Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-contre.

\medskip

\textbf{Partie A : généralités sur les fonctions }\:\boldmath $f_n$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1].
\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
\item À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des
coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ?

Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.1,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](0,0)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,2.09)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.1,2.09)
%\multido{\n=0+1}{4}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub \n mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 1 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 2 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 3 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 10 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 50 mul exp x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 100 mul exp x add}
\uput[l](0.1,1.1){\blue $\mathcal{C}_0$}\uput[l](0.49,1.1){\blue $\mathcal{C}_1$}
\uput[l](0.63,1.1){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[r](0.68,1.1){\blue $\mathcal{C}_3$}
\uput[l](0.78,0.86){\blue $\mathcal{C}_{10}$}\uput[l](0.98,1.1){\blue $\mathcal{C}_{50}$}
\uput[r](0.93,1){\blue $\mathcal{C}_{100}$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\textbf{Partie B : évolution de \boldmath $f_n(x) $\unboldmath\:  lorsque $x$ est fixé}

\medskip

Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0~;~1] . Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite 
$\left(u_n\right)$.
\item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant  x < 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\end{exercice}
\newpage 
\begin{exercice}[(5 points)]
 % liban mai 2015
  % du même genre que antilles sept 2014 qui est tres bien pour un prochain de voir
  % et aussi nouvelle caledonie nov 2015 qui est super
  % pondichery avril 2016 pas mal non plus mais pas le même genre.
On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.\index{fonction exponentielle}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp}
\uput[r](1.3,4.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$.

Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de
points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.
\item Démontrer cette conjecture.
\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}[(6 points)]
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux} 

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. 

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. 

Une absence de réponse n'est pas pénalisée.



\begin{enumerate}[%labelindent=\parindent,%
                 %leftmargin=*,%
                 label={{\bf Proposition \boldmath {$\protect {\arabic*}  : $ }} }]
                 

\item  $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par 


\[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]
 
Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} -  1}{2}$.
 
\item
 
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ (définie dans la question précédente) au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est :  $1 + \ln 4$. 



\item 

Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 

\[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\] 

admet une solution unique. 
\item

$\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}$ 

\item 

L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\R$.

\item On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par

\[u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } \:n,\quad  \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1.\]

La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique  ?

\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}[(Bonus)]
 Sans l'usage d ela calculatrice, comparez les réels $a=\E^\pi$ et $b=\pi^\E$.
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
