\documentclass[11pt]{article}
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  \geometry{a4paper,hmargin=2.5cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 9 (1h30) - Complexes. }{}{T\up{ale}S 3 }{18 janvier 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}[(8 points)]

\emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}


\begin{enumerate}[%labelindent=\parindent,%
                 %leftmargin=*,%
                 label={{\bf Proposition \boldmath {$\protect {\arabic*}  : $ }}}]

\item 
Les points A, B et C d'affixes
respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + 3\text{i},\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$ ne sont pas alignés.\index{complexes}
\item 

Il n'existe pas d'entier naturel $n$ non nul tel que $\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}$ soit un réel strictement positif.
% 
% \item 
% 
% L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral. 

\item L'ensemble des points du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est une droite qui passe par le point A d'affixe 3i.\index{complexes}

\item Soit $(E)$ l'équation $(z -1)\left(z^2 - 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes.

Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les
sommets d'un triangle rectangle.
% 
% \item $\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \text{i}\right)^8$.
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
% polynesie juin 2015 4 points


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\ouv$. À tout point $M$ d'affixe $z$
du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 4z + 3.\]\index{transformation complexe}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.

Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points
sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
\item  Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe 
$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item  Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
% \item  Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage

\begin{exercice}[(8 points)]
% centre etranger 2014 5 points

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=& 16\\ 
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]
 
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$. 
		\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}. 
		\item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique. 
		\item Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\index{suite géométrique}
 
La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?
 
Interpréter géométriquement le résultat précédent. 
\item
On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$,  etc. 
 
Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$. 
		\item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
 
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
\multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,-2.5)(\n,9)}
\multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5,\n)(18,\n)}
\psdots(-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(Bonus 2 points)]
 Un résultat fondamental de mathématiques (théorème de D'Alembert) permet d'établir que tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes  admet $n$ racines éventuellement multiples.
 On considère le polynôme $P(z)=z^5-1$.
 
 Combien $P$ a-t-il de racines ? Lesquelles sont-elles ?
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
