\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 8 (2h) - Complexes et exponentielle. }{}{T\up{ale}S 3 }{19 décembre 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}[(8 points)]\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}



\textbf{Partie A}

\medskip

On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $\Re (z)$.\index{complexes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$.
\item Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$.
\item Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,\: 

\[\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\]
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\: \cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :\index{fonction avec exponentielle}

\[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\]

On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$.

Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\:  \mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,\: g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer:
	\begin{enumerate}
		\item les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ;
		\item la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ;
		\item la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.\index{asymptote}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		
Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: 

$h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos  \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$.
		\item Justifier que, \par
sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ ,\par
et que sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right], \: \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
 	\end{enumerate}
\item  Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par

\[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\]

est une primitive de la fonction $h$.\index{primitive}

 
 \begin{center}
  
 \psset{xunit=1.7cm,yunit=6.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.15)(6.5,1.1)
\multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.15)(\n,1.1)}
\multido{\n=-0.1+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.1)(6.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(6.5,1.1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.1}{x 57 mul cos 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6.1}{1 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{6.1}{1 x 57 mul cos sub 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.5,0.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](1,0.38){\red $\mathcal{C}_g$}
\uput[ul](0.5,0.08){\green $\mathcal{C}_h$}
\end{pspicture}
 \end{center}


\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(3 points)]
 \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2x}}.\]\index{fonction exponentielle}

\textbf{Affirmation 1 :} L'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\R$.

\textbf{Affirmation 2 :} L' algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.\index{algorithme}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline
Variables :		&$X$ et $Y$ sont des réels\\
Initialisation :&$X$ prend la valeur 0\\
				&$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$\\
Traitement :	&Tant que $Y < 0,5$\\
				&\hspace{0.4cm}$X$ prend la valeur $X + 0,01$\\
				&\hspace{0.4cm}$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2X}}$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		& Afficher $X$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{exercice}



\begin{exercice}[(2 points)]
 Dans le plan complexe $\ouv$ ci-dessous, représentez les ensembles suivants : {\itshape (on ne demande pas de justification mais il faut laisser les traits de construction apparents)}.
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect \cale_{\arabic*} $ est l'ensemble des points $M(z)$ satisfaisant :}]
\item $\arg(z)=\dfrac{-\pi}{3}~~~(2\pi)$
\item $\arg(z-2\i)=\dfrac{\pi}{4}~~~(\pi) $
\item $|z-3+\i| = 4$
\item $|z+3\i|=|z+3|$
\end{enumerate}

 \begin{center}
 \begin{emp}(0,0)
 u:=.5cm;
 % Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
coul:=0.2white;
% Fin style quadrillage
repere(-12,12,1u,-5,5,1u);
flecheaxe:=false;
draw axesn(1,1);
%drawoptions(withcolor marine);
draw base(O,u,v);
draw quadrillage (1,1);
draw cadre;
fin;
 \end{emp}
 \end{center}


\end{exercice}




\begin{exercice}[(5 points)]
On définit pour tout nombre complexe $z\neq \i$ le nombre $Z=\dfrac{z+3}{z-\i}$. 

Soit $\cale$ l'ensemble des points $M(z)$ tels que $Z$ est imaginaire pur, $\calf$ 
celui des points $M(z)$ tels que $Z$ est réel et enfin $\calh$ celui des points $M(z)$ tels que $|Z|=1$.

\begin{enumerate}
 \item 
 \begin{enumerate}
  \item On pose $z=x+\i y$ avec $(x;y)\in\R^2\setminus\{(0;1)\}$. Déterminer la forme algébrique de $Z$. Vous montrerez 
  en particulier que  
  \[
   \Re(Z)=\dfrac{x^2+3x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2};% \quad \quad \Im(Z)=\dfrac{x+3-3y}{x^2+(y-1)^2}
  \]
  \item En déduire la nature et les éléments caracteristiques de l'ensemble  $\cale$.
 \end{enumerate} 
  \item De même, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $\calf$.
  \item Par des considérations d'ordre géométrique, déterminer $\calh$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(2 points)]
 On donne $z=-(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\i (\sqrt{6}-\sqrt{2})$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la forme algébrique de $z^2$.
  \item En déduire la forme exponentielle de $z^2$.
  \item {\bf En bonus :} En déduire alors le module et un argument de $z$.
  \item {\bf En bonus :} En déduire alors les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
 \end{enumerate}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
