\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 6 (2h)}{}{T\up{ale}S 3 }{21 novembre 2017..}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}


\begin{exercice}[(5 points)]
\begin{enumerate}
 \item Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3-3x-3$.
 \begin{enumerate}
  \item Etudier $g$ et dresser son tableau de variations.
  \item Montrer que $g$ admet une unique racine réelle $\alpha$. En donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.
  \item Dresser le tableau de signe de $g$.
 \end{enumerate}
 \item Soit $f$ définie sur $D=]1;\pI[$ par 
 \[
  f(x)=\dfrac{2x^3+3}{x^2-1}
 \]
\begin{enumerate}
 \item Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$.
 \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et établir que $f'$ et $g$ ont le même signe sur $D$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$.
 \item Etablir que 
 \[
  f(\alpha)=\dfrac{3(2\alpha+3)}{\alpha^2-1}
 \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 % Asie Juin 2017
 
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &= &1 \quad  \text{et, pour tout entier naturel } n,\\
\: u_{n+1} &=& \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n.
\end{array}\right.\]

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$,\: $v_n = (n + 1)u_n$.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item La feuille de calcul ci-contre présente les valeurs des
premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième.

Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire  dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les  termes successifs de $\left(u_n\right)$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Démontrer cette conjecture. 
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.42\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C\\ \hline
1 &$n$ 	&$u_n$ &$v_n$\\ \hline
2 &0	& \np{1,00000}&\np{1,00000}\\ \hline
3 &1 	& \np{0,25000} &\np{0,50000}\\ \hline
4 &2	&\np{0,08333} &\np{0,25000}\\ \hline
5 &3 	&\np{0,03125} &\np{0,12500}\\ \hline
6 &4 	&\np{0,01250} &\np{0,06250}\\ \hline
7 &5 	&\np{0,00521} &\np{0,03125}\\ \hline
8 &6 	&\np{0,00223} &\np{0,01563}\\ \hline
9 &7 	&\np{0,00098} &\np{0,00781}\\ \hline
10 &8 	&\np{0,00043} &\np{0,00391}\\ \hline
11 &9	&\np{0,00020} &\np{0,00195}\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(2 points)]
 {\itshape On rappelle que la fonction partie entière de $x$ est définie sur $\R$ comme la fonction qui à tout réel $x$ 
 associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ noté $E(x)$.}

Soit $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ et $g(x)=E(f(x))$. Sur le graphique suivant est représenté la courbe $C_f$ de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
 \item Représenter la courbe $C_g$ sur graphique.
 \item Justifier que $g$ est nulle sur $\R^\star$.
 \item La fonction $g$ est-elle continue sur $\R$ ? (justifier).
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
% Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
coul:=0.2white;
% Fin style quadrillage
u:=1cm;
repere(-5,5,1u,-.5,1.5,1u);
% Définition courbes
path Cf;
vardef f(expr x)=1/(1+x**2) enddef;
Cf=courbefonc(f,-5,5,60);
% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1);
draw axes(1,1) epaisseur 1;
% Dessin courbes
draw Cf epaisseur 0.8 couleur rouge;
% Nom des courbes
nomme(Cf,LaTeX("$\calc_f$"));
draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(4 points)]

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
\item $\dfrac{1}{(x^2+3x)^4}$; \ \ \ $\cald=\R$.
\item $\sin\left(\dfrac{1-x}{x^2+1}\right);\ \ \ \cald=\R$
\item $\sqrt{\sqrt{3x^2+1}}$; \ \ \ $\cald=\R$.
\item $\sqrt{\dfrac{5}{(x^2+9)}}$; \ \ \ $\cald=\R$.
\end{enumerate} 
\end{multicols}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]

 Soit 
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+3} \ \ \ &\text{si $x > 1$}\\
\\
\dfrac{1}{x} &\text{pour $x\leq 1$}
\end{cases}
\]
 La fonction $f$ est-elle continue en 1 ? Dérivable en 1 ? Donner une interprétation géométrique.
\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]
 On considère la fonction $f(x) = \cos x$ dont le graphe est représenté ci-dessous. On note $A$ et $B$ les deux premiers points d'intersection de $\calc_f$ avec l'axe des abscisses (voir figure). 
 Et $T_A$, $T_B$ les tangentes en ces points.
 \begin{center}
\begin{emp}(0,0)
% Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
coul:=0.2white;
% Fin style quadrillage
u:=1cm;
repere(-8,8,1u,-3,1.3,1u);
% Définition courbes
path Cf;
pair A,B;
A=(1.5707,0);B=(4.7123,0);
vardef f(expr x)=cos(x) enddef;
Cf=courbefonc(f,-10,10,80);
% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1);
draw axes(1,1) epaisseur 1;
% Dessin courbes
draw Cf epaisseur 0.8 couleur rouge;
% Nom des courbes
nomme(Cf,LaTeX("$\calc_f$"));
nomme.urt(A);
nomme.ulft(B);
draw cadre;
fin;
\end{emp}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Tracer les droites $T_A$ et $T_B$ et emmètre une conjecture.
 \item Déterminer les abscisses de $A$ et $B$ ainsi que les équations de  $T_A$ et $T_B$.
 \item Les droites $T_A$ et $T_B$ sont-elle perpendiculaires ?
\end{enumerate}

 
\end{exercice}



\begin{exercice}[(2 points)]

\begin{enumerate}
 \item Ecrire sous forme algébrique les nombres suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect z_\arabic* = \ $}]
 \item $\dfrac{2-4\i}{1+3\i}$
 \item $\i(2+\i)(1+\i)$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 
 Résoudre dans $\C$,
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
\item $5\i-z=3\i z +1 $
\item  $\barre{z}+\i z=1$.
\end{enumerate} 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(\ding{107}) Bonus (1 point)]
 Montrer que si $f$ dérivable en $a$ alors $f$ continue en $a$.
\end{exercice}


\begin{exercice}[(\ding{107} \ding{107}) Bonus (1 point)]
 Soit $F$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$.
 
 On sait que $F'(x)=f(x)$ et $F(0)=0$.
 
 On pose $\varphi(x)=F(x)+F(-x)$ pour $x\in \R$.
  
  Déterminer $\varphi'(x)$ et montrer que $\varphi$ est une fonction constante que l'on déterminera. Que pouvez-vous en déduire pour $F$ ?

\end{exercice}

\begin{exercice}[(\ding{107} \ding{107} \ding{107}) Bonus (1 point)]
 
\begin{enumerate}
 \item 
 Démontrer la règle de l'Hôpital dont l'énoncé est le suivant : 
\begin{theoreme}
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $I$ et $a\in I$. On suppose $f(a)=g(a)=0$ et $g'(a)\neq 0$. On a alors
 \[
  \limite{x}{a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}
 \]
\end{theoreme}
\item Soit $f$ définie sur $\left]\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right[$ par $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{\pi}}{\sin x }$. Déterminer $\limite{x}{\pi}f(x)$
\end{enumerate}


 
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
