\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 4 (1h)}{}{T\up{ale}S 3 }{23 octobre 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

% \setcounter{exercice}{-1}
% \begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}



\begin{exercice}[(10 points)]
% Pondichery juin 2017

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel 
$n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip 

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   			&B   	&C\\ \hline  
1 &rang $n$	&terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline    
2 &0   			& 1    	&1 \\ \hline     
3 &1   			&5     	&2\\ \hline      
4 &2   			&12    	&4\\ \hline      
5 &3   			&25    	&8 \\ \hline     
6 &4   			&50    	&16\\ \hline 
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 
\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12   &10   	&\np{3080}   &\np{1024} \\ \hline     
13   &11   	&\np{6153}   &\np{2048} \\ \hline     
14   &12   	&\np{12298}  &\np{4096}\\ \hline      
15   &l3    &\np{24587}  &\np{8192}\\ \hline      
\end{tabularx}     
\end{center}

Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 

\[u_n = 3 \times  2^n + n - 2\]
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
\item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. 
\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(5 points)]
 Déterminer les limites des fonctions suivantes à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect {\alph*(x)}= \ $},
		 start=6]
\item $\sin\left(\dfrac{\pi x^2-3}{x-3x^2}\right)$ sur $D=\R^\star_+$. Limite en $\pI$.
\item $\dfrac{2x+2}{3x^2+7x+4}$.  Limite en $-1$.
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}
\begin{exercice}[Bonus (2 points)]
Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
