\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 3}{}{T\up{ale}S 3 }{5 octobre 2017}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{-1}
\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}



\begin{exercice}[(3 points)]Déterminez la limite  des suites suivantes dans le cas ou elle existe.

\begin{multicols}{2}

 \begin{enumerate}[label={$\alph*_n=$},start=21,widest=7,itemsep=.5cm]

\item $\dfrac{4^n}{3^n-5^n}$, $n\in \N^\star$.

\item $\sin(3n^2)-n$, $n\in \N^\star$.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\end{exercice}



\begin{exercice}[(3 points)]
Déterminer  la limite  de la fonction $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
\item $\dfrac{4-x}{x^2-1}$ en $-1$.

\item $\dfrac{3x^3-x^2}{x^3-3}$ en $\mI$.

\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 Soit $f(x)=\sin^3 x+\sin x$, $x\in \R$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f$ est impaire et $2\pi$-périodique. Sur quel intervalle $I$ peut-on se contenter d'étudier $f$ ?
  \item Déterminer la dérivée de $f$ et dresser le tableau variations de $f$ sur $I$ en y précisant
  bien les valeurs de $f'(x)$ aux bornes de $I$.
  \item Tracer la courbe représentative de $f$ de manière sommaire sur le graphe ci-joint.
 \end{enumerate}
 \begin{center}
  
\begin{emp}(0,0)
u:=0.9cm;

repere(-10,10,u,-3,3,u);
 draw axexpi(1,2) withpen pencircle scaled 1.2;
 draw axey(1,1)withpen pencircle scaled 1.2;
 draw quadrillage(3.141592653589/2,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
fin
\end{emp}
 \end{center}

\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(11 points)] Les 3 questions de cet exercice sont indépendantes.
 

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par 
$u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$.



\medskip

 

Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle
$]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel
$n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

 

On donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.



\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. 

		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

	\end{enumerate} 

\item

	\begin{enumerate}
		  \item Etudier la fonction $f$ sur $]-2; \pI[$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n}> u_{n+1}>1.$

		\item Montrer que la suite $(u_n)$ converge.

	\end{enumerate} 

\item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.

 

Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 

	\begin{enumerate}

		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. 

		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 

		\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

	\end{enumerate}
\item Pouvez-vous déterminer une valeur de $u_0$ pour que la suite définie par $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ soit 
une suite croissante. Justifier sommairement.
\end{enumerate}




\begin{center} 

\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)

\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)

\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}

\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}

\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathcal{C}$}

\end{pspicture}

\end{center}

\end{exercice}


\begin{exercice}[Bonus (2 points)]
Soit $a\in\R$ tel que $\sin a \neq 0$. Montrer que pour tout $n\in\N^\star$ on a
\[
 \cos\left(\dfrac{a}{2}\right) \times \cos\left(\dfrac{a}{2^2}\right)\times\dots\times  \cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right) = \dfrac{\sin a}{2^n \cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)}
\]

\end{exercice}
\end{empfile}
\end{document}


 
