\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}

\usepackage{lastpage}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{watermark}
\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1.5cm}

\renewenvironment{exercice}[1][]{%
                     \refstepcounter{exercice}
                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}

\begin{document}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)

\begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
%     setupLaTeXMP(inputencoding="utf8",
%                  packages="mathdesign[utopia],mathtools,babel[frenchb]",
%                  preamble="\DecimalMathComma");
% color coul[];
% coul1:=(0,0,1);
color coul[];
coul1:=(0,0,0.2);
coul2:=(0.3,0,0.6);
\end{empcmds}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}OBLIGATOIRE}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large} 27 février 2018\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les cinq exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage
\begin{exercice}[(4 points)]
 \textbf{Commun à tous les candidats}
 
 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux} 

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. 

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. 

Une absence de réponse n'est pas pénalisée.



\begin{enumerate}[%labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 itemsep=1cm,
                 %label={{\textbf{ Proposition \boldmath {$\protect {\arabic*}  : $ }} }},wide]
                 label={{\textbf{ Proposition \boldmath {$\protect {\arabic*}  : $ }} }},itemindent=8em]

\item  On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
			&$a$, $b$ sont deux nombres réels tels que $a < b$\\
VARIABLES	& $x$ est un nombre réel\\
			&$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[a~;~b]$\\ \hline
			&Lire $a$ et $b$\\
			&Tant que $b-a > 0,3$\\
			&\hspace{1cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{a+ b}{2}$\\
TRAITEMENT	&\hspace{1cm} Si $f(x) f(a) > 0$, alors $a$ prend la valeur $x$\\
			&\hspace{3.4cm}sinon $b$ prend la valeur $x$\\
			&\hspace{1cm}Fin Si\\
			&Fin Tant que\\
			&Afficher $\dfrac{a+ b}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Affirmation :} Si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre \np{1,6875}.

\item Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. 

\textbf{Affirmation :} La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est $\sqrt{3}\E^{-\i \frac{11\pi}{12}}$.

% \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
% \textbf{a.~~} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$ & 
% \textbf{b.~~} $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$ & 
% \textbf{c.~~} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$ & 
% \textbf{d.~~} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
% \end{tabularx}

\item Soit $z$ un nombre complexe différent de 2. On pose :

\[Z = \dfrac{\text{i}z}{z - 2}.\]

\textbf{Affirmation :} L'ensemble des points du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point A(1~;~0).
\item 
$A$ et $B$ sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : 

\[p(A) = 0,4,\quad  p_{A}(B) = 0,7\quad  \text{et} \quad p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1.\]
 
\textbf{Affirmation :} 

La probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$.
\end{enumerate}
 
                 
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(4 points)]
% France juin 2013
\textbf{Commun à tous les candidats}

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35\,\% des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25\,\% de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
 
La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80\,\% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50\,\% et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. 

On envisage les événements suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item $H_{1}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ \fg, 
\item $H_{2}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ \fg, 
\item $H_{3}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ \fg, 
\item $C$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un conifère \fg, 
\item $F$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un arbre feuillu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 
		\item Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$. 
		\item Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$. 
		\item L'arbre choisi est un conifère.
		 
Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}	 
\item On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on précisera les paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 

On arrondira à $10^{-3}$. 
		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
		 
On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(5 points)]
\label{fonction}
% d'apres antille gutane sept 2012
\textbf{Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. 
\item En déduire que si $x \geqslant \text{e}$ alors $f(x) \geqslant \text{e}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 


\[ \begin{cases*}
u_0=5 \\
u_{n+1}=f(u_n) & pour tout entier naturel $n$
\end{cases*} \] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
 
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$. 
		\item Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item Soit $\ell$ la limite de $\left(u_{n}\right)$. On admet que $f(\ell)=\ell$, déterminer $\ell$. 
	\end{enumerate} 
% \item On donne l'algorithme suivant :
% 
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|l|}\hline 
% $X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\
% Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\
% Tant que $X > 2,72$ \\
% \hspace{0,5cm}Faire\\
% \hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ 
% \hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ 
% Fin de Tant que\\
%  Afficher $Y$\\ \hline
% \end{tabular}
% 
% \end{center}
%  
% À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
% 
% \medskip
% 
% \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize} X|}}\hline 
% $n$ &0& 1 &2 &3 &4  &5\\ \hline 
% $u_{n}$&$5$&\np{3,1066746728} &\np{2,7406525323} &\np{2,7183726346}& \np{2,71828183001} &\np{2,7182818285}\\ \hline
% \end{tabularx} 
\end{enumerate}

\end{exercice}
\newpage
\begin{exercice}[(4 points)]
\label{complexe}
\textbf{Commun à tous les candidats}
 %metropole sept 2017

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\ouv$. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe 

\[z’ = - z^2 + 2z.\]

Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] 

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 

On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. 

Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$. 
\item Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$. 
		\item Sur la figure donnée en annexe page 7, on a représenté un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$. 

Construire sur cette figure les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents). 
		\item Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ? 


	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
\textbf{Commun à tous les candidats}



Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par

\[f_a(x) = \text{e}^{x - a}  - 2x + \text{e}^{a}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.\index{fonction exponentielle}
\item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
\end{enumerate}
\end{exercice} 
 
\newpage
\begin{center} 
\textbf{\Large ANNEXE}

\textbf{Exercice \ref{fonction}}


\textbf{\large À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,11)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.1}{8}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(8,11)
\end{pspicture}
\end{center}



\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE} 

\textbf{ Exercice \ref{complexe}}

\textbf{\large À rendre avec la copie}

\bigskip


\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}\uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](-0.8,0.6){$\mathcal{C}$}
\psdots(1;25)\uput[ur](1;25){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{empfile}
\end{document}


