\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 8 (1 h)}{}{T\up{ale}S3}{19 janvier 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}{} 
% tiré de asie juin 2015

Le plan est muni du repère orthonormé direct $\ouv$.

On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un
lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 
		
		\[z^2 + z + 1 = 0.\]
		
		\item Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme
exponentielle.
\item Démontrer les égalités suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item j$^3 = 1$ ;
		\item j$^2 = - 1 - \text{j}$.
	\end{enumerate}
\item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan.
	
Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}	
\end{exercice}


\begin{exercice}{} 
% centre étranger juin 2014
On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=& 16\\ 
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]
 
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$. 
		\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}. 
		\item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique. 
		\item Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
 
La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?
 
Interpréter géométriquement le résultat précédent. 

On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$,  etc. 
 
Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$. 
		\item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
 
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
\multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,9)}
\multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](-5,\n)(18,\n)}
\psdots(-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}

\end{center}

\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
