\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 15 (1h)}{}{T\up{ale}S3}{26 avril 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}


\begin{exercice}
%liban juin 2014

\emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Les probabilités seront arrondies au dix millième.}
\smallskip

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8~h~00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'élève part tous les jours à 7~h~40 de son domicile et doit arriver à 8~h~00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $\np{99,4}\%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement 
\og L'élève se rend au lycée à vélo \fg, $B$ l'évènement \og l'élève se rend au lycée en bus \fg{} et $R$ l'évènement \og L'élève arrive en retard au lycée\fg.
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre de probabilités.
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $\np{0,0192}$
\item Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : le vélo}

\medskip

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée.

Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = \np{1,2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
\item Il part de son domicile à vélo à 7~h~40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
\item L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $\np{0,9}$ ? Arrondir le résultat à la minute près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : le bus}

\medskip

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.

On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $\np{0,05}$.

On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
\item Déterminer une valeur approchée à $\np{0,01}$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}
% Inde juin 104
 
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif. 

On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

\medskip

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \geqslant 3)$. 
		\item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant  h)$. 
		\item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ? 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à\:} \boldmath $10^{-3}$\unboldmath
  
L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. 

Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation. 
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
