\documentclass[11pt]{article}
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  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 14 (1h)}{}{T\up{ale}S3}{25 avril 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}


\begin{exercice}
 % France juin 2014
 
\textbf{Partie A} 

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par  $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$  définie sur $\R$ par : 

\[f_1(x) = x +  \text{e}^{-x}.\]


\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1). 
\item  Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L’objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\] 


\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\oij$ , pour tout entier naturel $n$, on note 
$\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\R$ par 

\[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}. \]

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe  $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$. 

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(1.3,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.3,-0.1)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.4)\uput[r](1,0.5){$\mathcal{D}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,1){A}
%\multido{\n=1+1}{4}{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.3}{2.71828 x \n mul  neg exp x add}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x   neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 2 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 3 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 4 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 6 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 15 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 60 mul  neg exp x add}
\uput[u](0.6,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[u](0.6,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](0.5,0.7){$\mathcal{C}_{3}$}\uput[u](0.4,0.6){$\mathcal{C}_{4}$}
\uput[u](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{6}$}\uput[u](0.2,0.25){$\mathcal{C}_{15}$}
\uput[u](0.1,0.15){$\mathcal{C}_{60}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$. 
		\item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de   variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie   pour conjecturer. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, 

 
\[I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x.\] 
 

En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. 
\item Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$. 
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
 % Nouvelle caledoinie mars 2016
 
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~16] par

\[f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\]

Dans un repère du plan $\oij$, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.



Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(18.8496,9.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln}
}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18.8496}{x 1 add ln}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{18.8496}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759)
\uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B}
\uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\green $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
