\documentclass[10pt]{article}
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  \geometry{a4paper,hmargin=1.8cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 12 (1h)}{}{T\up{ale}S3}{13 mars 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}

% polynesie juin 2009

Le plan est muni d'un repère orthogonal $\oij$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe $(\mathcal{C})$, donnée en annexe, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$.
 
La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O et A$\left(1 ~ ;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que  $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$· 

\item Montrer que 	$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$·
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.  \]

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour  tout entier naturel $n$ par : 

\[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$  de $[0~;~+\infty[,~ 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$. 
	\item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
	\end{enumerate}


\begin{center}
\textbf{ANNEXE}\par
\vspace{.5cm}
\psset{xunit=3cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(3,0.35)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.05)(3,0.35) \uput[ur](1,0.184){A}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.184)\psdots(1,0.184)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.5,0.1){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{3}{x x dup mul 1 add 2.71828 x exp mul div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\end{exercice}


\newpage

\begin{exercice}{}$\ $\\
 % inde juin 2009

\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par:
 
\[f(x) = x\text{e}^{-x^2}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\oij$ du plan. Cette courbe est représentée ci-contre.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.4)(2.25,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(2.25,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-0.25,-0.4)(2.25,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,0.9){1}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2.25}{x 2.71828 x dup mul exp div}
\end{pspicture*}}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		 
(On pourra écrire, pour $x$ différent de $0$ : $f(x) = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$).

\fbox{On admet que $\limite{x}{\pI}f(x)=0$.}
		\item Démontrer que $f$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et calculer ce maximum.  
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de $a$, l'aire $F(a)$ de la  partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = a$.

 Quelle est la limite de $F(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
 
\[u_{n} = \int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x.\]
 
{\bf On ne cherchera pas à expliciter $u_{n}$}. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ différent de 0 et de 1 

\[ f(n+1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n).\]
		 
		\item  Quel est le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ ? 
		\item  Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. Quelle est sa limite ?  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif $n,~ F(n ) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}  u_{k}$.  
		\item {\bf Seulement si vous aves le temps. Hors barême !!!}
		
		\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
\medskip
		 
On donne ci-dessous les valeurs de $F(n)$ obtenues à l'aide d'un tableur, pour $n$ entier compris entre 3 et 7.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{X|}l|l|l|} \hline
$n$	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$F(n)$&\nombre{0,4999382951}& \nombre{0,4999999437}&0,5&0,5&0,5\\ \hline
\end{tabularx}

Interpréter ces résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
