\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 11 (1h30)}{}{T\up{ale}S3}{7 mars 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}{} 
% liban juin 2008
On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~+ \infty[$.

On donne le tableau de ses variations :
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(2,0)(2,3)\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.3,2.5){$- \infty$}\uput[u](4,2.5){$0$}
\uput[u](6,2.5){$2$}\uput[u](7.65,2.5){$+ \infty$}\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3,2){$+$}\uput[u](5,2){$+$}\uput[u](6,2){$0$}\uput[u](7,2){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}\rput(2.3,0.2){$- \infty$}\rput(4,1){$0$}\rput(6,1.75){$1 + \text{e}^{-2}$}\rput(7.85,0.2){$1$}
\psline{->}(2.6,0.2)(3.8,0.95) \psline{->}(4.2,1.05)(5.5,1.75)
\psline{->}(6.5,1.7)(7.7,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}
 Soit $g$ la fonction définie sur $\left] { - \infty \;;\; + \infty } \right[$
 par $g(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$.
 
\medskip
 

\begin{enumerate}
\item En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe $(\mathcal{C})$ susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement $g(2)$.
		\item  Montrer que $0 \leqslant g\left( 2 \right) \leqslant 2,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ un réel supérieur à 2.
		
Montrer que $\displaystyle\int_{2}^{x} {f(t)\:\text{d}t}  \geqslant x - 2$. En déduire que $g(x) \geqslant x - 2$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $ + \infty $.
\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left] {- \infty\;;\;+ \infty } \right[$.
\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{emp}(0,0) % L'environnement pour créer une figure
                 % Le couple de nombres est un paramètre obligatoire
                 % qui permet de passer les dimensions de la figure au fichier .mp
                 % Je m'en sers jamais, je laisse toujours (0,0)


repere(-7,7,1cm,-3,3,2cm);

 draw base(O,i,j);
 draw quadrillage(1,1) withcolor 0.8black;
 draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine

 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;

\end{emp}
\end{center}

\end{exercice}

\newpage


\begin{exercice}
 
On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour  $n$ entier naturel non nul par : 

\[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$.
		
Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.
		\item En déduire la valeur de $I_1$.
		\item Pour tout entier $n$ on définit sur $\R$ la fonction $H_n$ par
\[
H_n(x)=x^{n+1}G(x)
\]

Exprimer la dérivée $H_n'(x)$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\]
		\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{l|}} \hline
\multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\
&\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\
&\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\
\hline
\textbf{Sortie}&Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$.
		\item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
On note $\ell$ sa limite.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Déterminer la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Sur le cube ci-joint, tracer la section en laissant apparaître les traits de construction ou en donnant 
la propriété utilisée le cas échéant du cube par le plan $IJK$.

\vspace{2cm}
\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
vardef cube (expr depart,dimarete) =
                save fig,cube,chemin;
                pair sommetCube[];
                path chemin;
                picture fig,cube;
                fig=currentpicture;
                currentpicture:=nullpicture;
                sommetCube0=depart;
                sommetCube1=sommetCube0 shifted (dimarete,0);
                (sommetCube3-sommetCube0)=(sommetCube1-sommetCube0) scaled .5 rotated 35;
                (sommetCube2-sommetCube1)=(sommetCube0-sommetCube1) scaled .5 rotated (-145);
                for i:=0 upto 3 :
                        sommetCube[i+4]=sommetCube[i] shifted (0,dimarete);
                endfor
                draw sommetCube0--sommetCube1--sommetCube2--sommetCube6--
                sommetCube5--sommetCube4--cycle;
                draw sommetCube1--sommetCube5;
                draw sommetCube0--sommetCube3--sommetCube7 dashed evenly;
                draw sommetCube2--sommetCube3 dashed evenly;
                draw sommetCube4--sommetCube7--sommetCube6;
                cube=currentpicture;
                currentpicture:=fig;
                cube
enddef;

vardef nommecube =
                label.llft(LaTeX("$A$"), sommetCube0);
                label.lrt(LaTeX("$B$"), sommetCube1);
                label.lrt(LaTeX("$C$"), sommetCube2);
                label.urt(LaTeX("$D$"), sommetCube3);
                label.ulft(LaTeX("$E$"), sommetCube4);
                label.top(LaTeX("$F$"), sommetCube5);
                label.urt(LaTeX("$G$"), sommetCube6);
                label.ulft(LaTeX("$H$"), sommetCube7);

	      enddef;
 beginfig(2); 
        picture lecube;
        pair A,B,H,F,C,I,E,G,J,D,K, M[];
pickup pencircle scaled 0.8bp;
	lecube:=cube(origin,4cm);

        draw lecube;
       nommecube;

        A:=sommetCube0;
	B=sommetCube1;
	E:=sommetCube4;
        H:=sommetCube7;
	G:=sommetCube6;
        F:=sommetCube5;
        C:=sommetCube2;
	D:=sommetCube3;
        %pickup pencircle scaled 2bp;
	I=3/5[A,D];  %1/4
	J=4/7[A,B];
	K=1/3[F,G];

	dotlabel.ulft(LaTeX("$I$"),I);
	dotlabel.bot(LaTeX("$J$"),J);
	dotlabel.bot(LaTeX("$K$"),K);
      endfig;
\end{emp}
\end{center}


\end{exercice}
\end{empfile}
\end{document}


 
