\documentclass[10pt]{article}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 9 (30 mn)}{}{T\up{ale}S3}{15 février 2016}


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\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}{} 
% antilles guyane sept 2015

Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
\item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1].

Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg.

On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :

$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;

$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Exprimer $P(J)$ en fonction de $x$ et en déduire la valeur exacte de $x$.
\item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg.

Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot.

On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.


\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.
\item Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 Calculer les intégrales suivantes :
  \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect I_{\arabic*} = \ $}]
  \item  $\ds\int_0^2 x\sqrt{x^2+3}\, dx$              
  \item  $\ds\int_1^\E \dfrac{1+\ln x}{x}\, dx$
  \item  $\ds\int_0^3 x\E^{-x^2} \, dx $
  \item  $\ds\int_1^\E \dfrac{\E^{x}}{(\E^x+1)^3}\, dx$
 \end{enumerate}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
