\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 6 (1 h)}{}{T\up{ale}S3}{14 décembre 2015}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}{} %BAC Pondichery Avril 2013.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\ouv$.
  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.\index{complexes}
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].

 \medskip
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 

\begin{textefig}
\begin{figmp}
u:=1cm;
repere(-3,3,u,-3,3,u);
% draw base(O,i,j);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
draw axesn(1,1) ;% ne met pas le 0 à l'origine
draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{figmp}
 \begin{enonce}
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 

$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\ouv$ ci-contre.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{enonce}
\end{textefig}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ pr $f(x)=(1-x)\E^x$. On note $\calc$ sa représentation graphique. Soit $A$ 
le point de $\calc$ d'abscisse 1 et $B$ celui d'abscisse $-1$. On note $T_A$ et $T_B$ les tangentes à $\calc$ correspondantes.  
\begin{enumerate}
 \item Etudier les limites de $f$.
 \item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
 \item Montrer que les tangentes $T_A$ et $T_B$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 On souhaite programmer un algorithme de recherche de racine d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a;b]$ par dichotomie. 
 On suppose que $f$ n'a qu'une seule racine sur cet intervalle. On donne les 3 algorithmes suivants. 

 \begin{multicols}{3}
  
\begin{algoLFB}[1]{}
 % \Variables{$i$,$S$}
  \Traitement{
	 $p$ \recoit $5$\;
	 \Tq{$b-a>10^{-p}$}{
	 $c$ \recoit $\dfrac{a+b}{2}$\;
	 \eSi{$f(a)f(c)<0$}{$b$ \recoit $c$\;}{	 $a$ \recoit $c$\;}
	  }
	  \Afficher{$a;b$}
	  }
 \end{algoLFB}
 
 
\begin{algoLFB}[1]{}
 % \Variables{$i$,$S$}
  \Traitement{
	 $p$ \recoit $5$\;
	 \Tq{$b-a<10^{-p}$}{
	 $c$ \recoit $\dfrac{a+b}{2}$\;
	 \eSi{$f(a)f(c)<0$}{$b$ \recoit $c$\;}{	 $a$ \recoit $c$\;}
	  }
	  \Afficher{$a;b$}
	  }
 \end{algoLFB}
 
 
 
\begin{algoLFB}[1]{}
 % \Variables{$i$,$S$}
  \Traitement{
	 $p$ \recoit $5$\;
	 \Tq{$b-a>10^{-p}$}{
	 $c$ \recoit $\dfrac{a+b}{2}$\;
	 \eSi{$f(a)f(c)>0$}{$b$ \recoit $c$\;}{	 $a$ \recoit $c$\;}
	  }
	  \Afficher{$a;b$}
	  }
 \end{algoLFB}
 \end{multicols}

 \begin{enumerate}
  \item Un seul de ces algorithmes est correct. Lequel ? Vous justifierez sommairement votre réponse.
  \item A quoi correspond $p$ ?
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
