\documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{0.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
\newcommand{\vectu}{\vect{u}}
\newcommand{\vectv}{\vect{v}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour faire des symboles
 \usepackage{pifont}

%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour inserer des bouts de code
%% voir http://www.latex-howto.be/files/LaTeX-HowTo-ch9.pdf
\usepackage{listings} 
\lstset{linewidth =12cm , xleftmargin =2cm ,aboveskip =5mm ,belowskip =1 cm , frame=tblr ,rulesep=1mm,framesep =5mm,framerule =2pt, xrightmargin =5mm ,xleftmargin =5mm ,
rulecolor ={\color[gray]{0.6}} , rulesepcolor ={\color[gray]{0.9}}, backgroundcolor={\color[gray]{0.9}},  basicstyle =\rm\footnotesize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%



%inserer une figure à droite du texte 
  %\begin{textfig}{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}



\newcommand{\qcm}{\begin{LARGE}\raisebox{-2pt}{\ding{111}}\end{LARGE}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
 \begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                 % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                 % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
 
 \begin{empcmds} % le préambule du fichier .mp
 input latexmp;
 input repere;
 \end{empcmds}

\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 10 (2h)}{}{Classe de T\up{ale}S}{5 février 2014}


\begin{exercice}{}

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
		\item  Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :

\[nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1\quad  \text{et}\quad  w_{0} = 1.\] 

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

	\begin{enumerate}
		\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\np{2009}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}
 
L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par 
  
\[u_{0} = 3\quad  \text{et pour tout entier naturel}\: n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right) \quad (\star)\]

On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} > 0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{7}{x}\right).\]
 
Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum.
 
En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \geqslant \sqrt{7}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel quelconque.
		 
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_{n}$. 
		\item Pourquoi peut-on en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente ? 
		\item On déduit de la relation $(\star)$ que la limite $\ell$ de cette suite est telle que $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right)$.
		 
Déterminer $\ell$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$.  
\item On définit la suite $\left(d_{n}\right)$ par :
 
\[d_{0} = 1 \quad \text{et pour tout entier naturel}\: n,\:d_{n+1} = \dfrac{1}{2}d^2_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n}.\]

		\item Voici un algorithme :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :&$n$ et $p$ sont des entiers naturels\\ 
&$d$ est un réel.\\ 
Entrée :& 	Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ 
Initialisations :& Affecter à $d$ la valeur 1.\\
&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
Traitement :& Tant que $d > 10^{- p}$.\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $d$ la valeur $0,5d^2$\\
~~& Affecter à $n$ la valeur $n + 1$.\\
\end{tabular}\\ 
Sortie :& Afficher $n$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

En entrant la valeur 9, l'algorithme affiche le nombre 5. 

Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_{5}$ ? 

Justifier que $u_{5}$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{- 9}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 5$ et pour tout nombre entier naturel $n$, par  $u_{n+1} = \dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}$.

\medskip
 
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$, alors on a, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
 
On donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $u_{n} - 1 > 0.$
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1. b.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ par une autre méthode, en déterminant une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$. 
		\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}
\begin{center} 
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](2,2){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\vspace{1cm}
\setcounter{exercice}{0}



\end{empfile}
\end{document}
