

\documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}



\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spécial BB
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
  \usepackage{watermark}
 \definecolor{lightgray}{gray}{.60}
  
  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
%     \frenchbsetup{SuppressWarning}
     \DecimalMathComma
     
   \usepackage{lastpage}

  \usepackage[%
              pdftitle={Baccalauréat blanc de terminale S - Enseignement obligatoire},%
              pdfauthor={L.F.B.},%
              ]{hyperref}


\renewenvironment{exercice}[1][]{%
                     \refstepcounter{exercice}
                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}OBLIGATOIRE}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large}Semaine du 4 mars 2013\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[6 points]

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 5\ln (x + 3) - x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a 

\[f(x) = x\left(5\frac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right).\]
 
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Compléter le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On notera $\alpha$ cette solution. 
		\item Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
		\item En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} &=& 4\\ 
u_{n+1}& =& 5 \ln \left(u_{n} + 3\right) \quad \text{pour tout entier naturel }\: n \neq 0
\end{array}\right.\] 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 5 \ln (x + 3).\] 

En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses de l'annexe 1 les termes $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a. 
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 
		
		$0 \leqslant  u_{n} \leqslant \alpha$. 
		\item Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B. 
		\item En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}\hline 
$u$ prend la valeur 4\\ 
Répéter Tant que $u - 14,2 < 0$\\ 
\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\
Fin du Tant que\\ 
Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Justifier que cet algorithme se termine. 
		\item Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[5 points]

\emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip
 
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\ouv$, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.
 
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation 

\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]

 où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$. 
\item On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère $\ouv$. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 

\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 

\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
 
\item Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

\[\begin{array}{@{\bullet~~} l} 
\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ 
M' \neq \text{A} ;\\ 
\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
\end{array}\] 
 
\item On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P. 
\item En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction. 
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$. 
		\item Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[6 points]
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution notée $\alpha$.  À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$.

La figure est donnée en annexe.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
%\textbf{\large ANNEXE} 

% \vspace{1,5cm}
% 
% \textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie.}
% 
% \bigskip
%  
% \textbf{Exercice 4}
% 
% \vspace{1,5cm}

 
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(4,3)
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](2.5,0.28){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\multido{\n=-1.0+0.16667}{31}{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2.0+0.16667}{31}
{\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-2+1}{6}
{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=orange](-1,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{exercice}



\begin{exercice}[3 points]

On désigne par $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par

\[I_{n} = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $x \E^{-x}= \E^{-x}-(x \E^{-x})'$ pour tout $x\in\R$  puis calculer $I_{1}$.
\item  Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes $\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2},\, \mathcal{C}_{3},\, \mathcal{C}_{10},\, \mathcal{C}_{20},\, \mathcal{C}_{30}$ comprises dans la bande définie par $0 \leqslant x \leqslant 1$.

\medskip
 Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_{n})$ en décrivant votre démarche. Pouvez-vous aussi conjecturer la limite de  $(I_{n})$ ?
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, on a $(I_{n})\geq 0$.
\item Montrer que $(I_{n})$ est décroissante et conclure quant à la convergence de $(I_{n})$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ on a  $x^n \text{e}^{- x} \leq x^n$.
\item En déduire un encadrement de $(I_{n})$ et déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(I_{n}\right)$.

\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\psset{unit=10cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,0.6)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.6)
\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,0.6){$y$}\uput[dl](0,0){O}
%\multido{\n=1+1}{3}{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x \n exp 2.71828 x exp div}}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x  2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 3 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 10 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 20 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 30 exp 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.2,0.17){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[l](0.5,0.17){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[l](0.7,0.17){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[l](0.92,0.17){$\mathcal{C}_{10}$}
\uput[l](0.93,0.08){$\mathcal{C}_{20}$}
\uput[r](0.92,0.03){$\mathcal{C}_{30}$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.368)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{exercice}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\textbf{(Exercice 1)}

\textbf{Commun \`a tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\emph{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(23,17)
\psplot{0}{17}{x}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul}
\uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){$\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}


