\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
%\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }



\pagestyle{empty} 
\begin{document}


\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 5 (2 heures)}{}{Classe de TS3}{22 novembre 2011}
\vspace{-1cm}



\exo{}{\hrulefill(5 points)}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
 \item $\ln(x+4)+\ln(x+1)=\ln(x+9)$
 \item $(\ln x)^2+\ln x -12 > 0$
\item $\E^x=-4$
\item $(\E^x-3)^2=9$
\item $\E^{(x^2)}\leq \dfrac{1}{\E}$.
\item $\E^{(x^2)}\leq (\E^{x})^2$
\item $x(2\E^x-1) \geq 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{\hrulefill(2 points)}
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ sur $D=]-\dfrac{\pi}{2};0[$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x}$ sur $D=]1;\pI[$.
\item  $f(x)=\dfrac{\E^{2x}}{(\E^{2x}+7)^3}$ sur $\R$.
\item $f(x)=\dfrac{\ds \E^{\tan x}}{\cos^2 x}$ sur $I=]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{\hrulefill(4,5 points)}
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{\ln(1+\sin x)}{x}$; \ en 0.
\item $f(x)=\ln(\sin x) -\ln x$; \ en 0.
\item $f(x)=x\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$; \ en $0$.
\item $f(x)=x\E^{\frac{1}{x}}$ en $0$.
\item $f(x)=\dfrac{\E^x}{3x^2+5}$ en $\pI$.
\item $f(x)=\dfrac{\E^{4x}-1}{3x}$ en $0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo


\exo{}{\hrulefill(9 points)}
Soit $f$ la fonction définie sur $I=]0;\pI[$ par 
\[
f(x)=\frac{\ln  x}{1+x}
\]
On note $\calc$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormal $\oij$ du plan.
\begin{enumerate}
\item {\bf Etude d'une fonction auxilliaire}
Soit $g$ la fonction définie sur $I$ par :
\[
g(x)=1+x-x\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $g$ en chacunes des bornes de son ensemble
  de définition.
\item Etudier les variations de $g$ et construire son tableau de
  variation.
\item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution
  $\alpha$ sur $I$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude
  $10^{-2}$.
\item Déduire de ce qui précède le signe de $g$ sur $I$.
\end{enumerate}
\item {\bf Etude et représentation graphique de la fonction $f$}
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ en chacunes des bornes de son ensemble
  de définition.
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $I$, et montrer que pour
  tout $x \in I$,
\[
f'(x)=\frac{g(x)}{x(1+x)^2}
\]
\item  En déduire le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation
  de $f$ sur $I$.
\item Montrer que $f(\alpha)=\frac{1}{\alpha}$, et déterminer un
  encadrement de $f(\alpha)$.
\item Déterminer une équation réduite de la tangente $T$ de $\calc$ au
  point d'intersection de $\calc$ et de l'axe de abscisses.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}
