\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
%\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }

\usepackage{tabularx}

\pagestyle{empty} 
\begin{document}


\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 12 (1 heure)}{}{Classe de TS3}{14 mai 2012}
\vspace{-1cm}


\exo{}{}

On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.

On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).

Un joueur fait une partie en deux étapes :

Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.

Deuxième étape :

\setlength\parindent{5mm}  
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\item[$\bullet~$] 	si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\item[$\bullet~$] 	si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

À la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).

On définit les évènements suivants :

D$_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg{}\hspace{1cm}	D$_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg 

D$_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg{}  \hspace{1cm} G : \og la partie est gagnée \fg.

A et B étant deux évènements tels que $p$(A) $\neq 0$, on note $p_{\text{A}}(\text{B})$ la probabilité de B sachant que A est réalisé.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités $p_{\text{D}_{1}}(\text{G}),~ p_{\text{D}_{2}}(\text{G})$,  et $p_{\text{D}_{3}}(\text{G})$

		\item Montrer alors que $p$(G) = $\dfrac{23}{180}$.
	\end{enumerate}
\item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
\item Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie  à $10^{-2}$ près.

Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure  à 0,9 ?
\end{enumerate}


\finexo

\exo{}{}

\emph{Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. \\
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}

\bigskip

 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $A$ et $B$ deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité $p$.
 
On sait que $p(A \cup B) = \dfrac{4}{5}$ et $p\left(\overline{A}\right) =  \dfrac{3}{5}$. 

La probabilité de l'évènement $B$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} $\quad \dfrac{2}{5}$& \textbf{b.} $\quad \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.} $\quad \dfrac{3}{5}$&\textbf{a.} $\quad \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. 

S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{10}$ ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien  avec une probabilité égale à $\dfrac{9}{10}$.
 
Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.} $\quad \dfrac{9}{10}$&\textbf{a.} $\quad \dfrac{27}{40}$&\textbf{a.} $\quad \dfrac{3}{4}$&\textbf{a.} $\quad \dfrac{27}{28}$
\end{tabularx} 

\medskip
\end{enumerate}

\finexo

\end{document}
