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\newenvironment{exercice}[1][]{%
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                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}



\newcommand{\suite}[1][u]{\left( #1_{n} \right)_{n\in\N}}

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\begin{document}
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\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large}Avril 2012\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[5 points]

\textbf{Partie A Question de cours}

\medskip
 
Soit I un intervalle de $\R$.
 
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ soient continues sur I. 

Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a~;~b]$ de I.
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : 

\[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2.\]
 
On note respectivement $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentatives de $f$ de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $\oij$.
 
Les courbes sont tracées en annexe.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 
		\item Donner les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de deux intégrations par parties successives, déterminer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}_{1}$,\:$\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : 

\[u_{n} = \int_{0}^1  (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, 

\[0 \leqslant  (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x} \leqslant (x - 1)^{2n}.\]
 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
		
\[ 0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2n + 1}.\] 

	\end{enumerate} 
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 1 }
\end{flushleft}

\vspace{1cm}
\textbf{Cette page ne sera pas à rendre avec la copie}

\vspace{1cm} 

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(6.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.5)(6.5,7.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-2,0)(6.5,7.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.83}{6.5}{x 1 sub 2 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.24}{3.25}{x 1 sub 2 exp 1.5 mul}
\uput[u](4.5,0.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[r](3,5.75){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{exercice}
\newpage

\begin{exercice}[5 points]

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\oijk$.
 
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : 

A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[5 points]

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\ouv$. 

On prendra 1~cm pour unité graphique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
\item Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]
 
Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. 
\item Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. 
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$. En déduire la nature du triangle DAC. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
 
On note $h$ l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note $r$ la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On appelle C$'$ l'image de C par $h$ et C$''$ l'image de C$'$ par $r$. 

Montrer que les droites (AC) et (C$'$C$''$) sont perpendiculaires. 
\end{enumerate}


\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[5 points]
 
On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.

\medskip
 
Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A : existence et unicité de la solution}\end{center}
 
On considère la fonction $f$ défmie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f (x) = x + \ln x$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Vérifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
	\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x)$ appartient à cet intervalle. 
	\item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ est solution de l'équation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par 

$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$. 
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à la sixième décimale. 
	\item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près de $\alpha$. 
	
En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant  \alpha \leqslant  v$ où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{document}


