\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
%\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }



\pagestyle{empty} 
\begin{document}


\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 10 (2 heures)}{}{Classe de TS3}{13 mars 2012}
\vspace{-1cm}


\exo{}{(3 points)}
Calculer les intégrales suivantes : 
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}
 \item $I=\ds\int_0^1 5^x \,dx$
 \item $J=\ds\int_2^3 \dfrac{3x}{1-x^2}\, dx$
\end{enumerate}
 
\end{multicols}

\finexo

\exo{}{(6 points)}
On consid\`ere les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ d\'efinies, pour tout entier naturel $n$, par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 & =&3\\
u_{n+1} & =& \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c l}
v_0 & =&4\\
v_{n+1} & =& \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right.\]

\begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~ v_1,~u_2$ et $v_2$.

\item Soit la suite $\left(w_n\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par : 
$w_n = v_n - u_n$.

\begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{1}{4}$.

\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et pr\'eciser la limite de la 
suite $\left(w_n\right)$.

\end{enumerate}

\item Apr\`es avoir \'etudi\'e le sens de variation de suites $\left(u_n\right)$ et 
$\left(v_n\right)$, d\'emontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en d\'eduire ?

\item On consid\`ere \`a pr\'esent la suite $\left(t_n\right)$ d\'efinie, pour tout 
entier naturel $n$, par $t_n = \dfrac{u_n  + 2v_n}{3}$. 

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que la suite $\left(t_n\right)$ est constante.

\item En d\'eduire la limite des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\finexo
\hrule


\exo{}{(7 points)} 
On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel
non nul par
\[
u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.
\]

\begin{enumerate}\item A l'aide d'une intégration par parties, déterminer la valeur de $u_{1}$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}
  \geqslant 0$.

\item Montrer \`a l'aide d'une int\'egration par parties que, pour tout $n$ non nul,

\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\]


\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout r\'eel $t$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul $n$

\[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\]

\item En d\'eduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$.

\end{enumerate}

\item D\'eterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}
\finexo
\hrule





\exo{}{(4 points)} 

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2\ln x.\]
 
La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $\oij$ est donnée en annexe.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Démontrer qu'il existe une tangente unique à la courbe $(\mathcal{C})$ passant par O. Préciser une équation de cette tangente. 
\item On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe $(\text{O}x)$ de la région plane délimitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe $(\text{O}x)$ et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$. 
 
On note $V$ une mesure, exprimée en unités de volume, du volume de ce solide et on admet que : 

\[V= \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 \pi[f(x)]^2\:\text{d}x. \]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une primitive de la fonction $x \longmapsto x^4 \ln x$ sur $]0~;~+ \infty[$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{x^5}{25}(5\ln x - 1)$. 
		\item En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, que : $V = \dfrac{\pi}{125}\left(2 - \dfrac{37}{\text{e}^5}\right)$.	 
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\psset{unit=3.25cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(2.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.5,2)
\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.8}{x dup mul x ln mul}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-0.5)(2.5,2)
\end{pspicture*} 
\finexo
\hrule


\end{document}
