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                     \par
                      \vspace{2em}
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                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
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\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large}Février 2012\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[5 points]

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct $\ouv{}$ d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui·même, qui 
au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que  : 

\[z' =\dfrac{\text{i}z}{z + 1}.\] 

\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'affixe des points $M$ tels que $M' = M$. 
\item  Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a :
 
\[\text{O}M' = \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}~\text{et}~ \left(\vect{u},~\vect{\text{O}M'}\right) =  \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{O}}\right) + \dfrac{\pi}{2}~\text{\`a}~2\pi~\text{pr\`es}.\]
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit B le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$.
		 
Placer dans le repère le point B et la médiatrice ($\Delta$) du segment [OA]. 
		\item Calculer sous forme algébrique l'affixe $b'$ du point B$'$ image du point B par $f$.
		 
Établir que B$'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon 1.

Placer le point B$'$ et tracer le cercle $(\mathcal{C})$ dans le repère. 
		\item En utilisant la question 2, démontrer que, si un point $M$ appartient à la médiatrice ($\Delta$), son image $M'$ par $f$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$. 
		\item Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct.
		 
En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par $f$ (On laissera apparents les traits de construction.)
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de A et de O dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses.
 
Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante. 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq  (-1,~0)$  et $(x,~y) \neq (0,~0)$.
		 
Démontrer que la partie imaginaire de $z'$ est égale à :
 
\[\text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\]
  
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ($\Gamma$) et le tracer dans le repère. 
		\item À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble ($\Gamma$). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage

\begin{exercice}[4 points]

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = 3 - \dfrac{4}{x + 1}.\]
  
On considère la suite définie pour tout $n \in \N$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&4\\
u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On a tracé, en annexe 1, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique en annexe 1, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$. Faire apparaître les traits de construction. 
		\item Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n} \geqslant 1$ pour tout $n \in \N$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$. 
		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}



\begin{exercice}[5 points]

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= a y$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in  \R$.

\medskip
 
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$  où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E). 
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$. 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde.
 
On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :

\[10v'(t) + v(t) = 30.\]  

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s$^{-2}$. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 
\end{enumerate} 

\end{exercice}



\begin{exercice}[Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire, 4 points]
 
\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: \text{e}^x - x > 0$. 
\end{enumerate}

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B }
\end{center}
On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x - x}.\] 
 

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1]. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$. 
\item Soit (D) la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\text{e}^x - x}$. 
		\item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~1].
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1]. 
	
\end{enumerate}


\end{exercice}



\begin{exercice}[Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire, 2 points]
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = \ln x - 2 + x.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.

Donner un encadrement du nombre $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}


\end{exercice}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

(À rendre avec la copie)

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[ul](4.5,4.5){$\mathcal{D}$}\uput[d](5.5,2.3){$\mathcal{C}$}
\psline(-1,-1)(5,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{3 4 x 1 add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}


