\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
%\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\subsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.25em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}



\pagestyle{empty} 
\begin{document}


\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 4 (2 heures)}{}{Classe de TS6}{4 décembre 2010}
%\vspace{0.7cm}


\exo{}{\hrulefill (4 points)}
Etudier les limites suivantes à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x)=$}]
\item $x\E^\frac{1}{x}$ en 0.
\item $\dfrac{\E^{2x}}{x^2+4}$ en $\pI$.
\item $x\ln (\cos^2 x+2)$ en $\pI$.
\item $\E^{(x^3)}-\E^{(x^2)}$ en $\pI$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{\hrulefill(3 points)}
Résoudre les  inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*})~:$}]
\item $2\E^{3x}-4\E^{2x}-6\E^x\geq 0$.
\item $x^{\sqrt{2}}>x^2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\finexo

\exo{}{\hrulefill (1,5 points)}
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x)=$}]
\item $\dfrac{x\E^{(x^2)}}{\E^{(x^2)}+3}$ sur $I=\R$.
\item $\dfrac{\E^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$  sur $I=\R_+^\star$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{ (pour les non spécialistes) \hrulefill(2 points)}
Soit $f$ définie sur $\R_+$ par
\[
f(x)= \begin{cases}
  \dfrac{\E^{\sin x}-1}{\sqrt{x}}  \  \  &\text{si $x\neq0$}\\
0 &\text{sinon}
 \end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Etablir que $\limite{0}\dfrac{\E^{\sin x}-1}{x}=1$.
\item $f$ est-elle continue sur $\R_+$ ?
\item $f$ est-elle dérivable sur $\R_+$ ? 
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{ (spécialistes) \hrulefill(2 points)}
\begin{enumerate}
\item Déterminer suivant les valeurs de $n \in \Z$ le reste da la division de $n^2$
par 8.
\item Déduire de la question précédente les solutions dans $\Z$ des
  équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item 
\[
(n+4)^2-4 \equiv 0\ \ (8)
\]
\item 
\[
(3n^2+2n+1)^2-19=0\ \ (8)
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\finexo



\begin{minipage}{8cm}
\exo{}{(2 points)}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. On a représenté ci-joint la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
\begin{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre réel. \' Ecrire, en fonction de $a$, une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b - a = - 1$.
\item En déduire une construction, à effectuer ci-joint, de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera apparaître le point $N$ correspondant.
\end{enumerate}
\vspace{3cm}
\finexo
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
\psset{unit=1.214cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(3,6)
\psplot{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
\psline(-4,3)(3,-4) \uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[ur](2,-3){$(D)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{minipage}





\exo{}{\hrulefill (7,5 points)}
On d\'esigne par $a$ un r\'eel strictement positif et diff\'erent de 1.

On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, les solutions de l'\'equation \[E_{a} : ~x^a =  a^x.\]
\subsection*{I - \'Etude de quelques cas particuliers}
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'\'equation $E_{2}$.
\item  V\'erifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'\'equation $E_{a}$.
\item  On se propose de d\'emontrer que e est la seule solution de l'\'equation $E_{\text{e}}$.\\
On note $h$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$.
\begin{enumerate}
% \item \textbf{Question de cours :}
% On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors	$\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$.\\
% D\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item  D\'eterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$.
\item 	\'Etudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item 	Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'\'equation $E_{\text{e}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\subsection*{II - R\'esolution de l'\'equation \boldmath$E_{a}$ \unboldmath} 
\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ un r\'eel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'\'equation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'\'equation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$.
\item On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$  par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interpr\'etation graphique de ces deux limites.
\item Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
\item 	Tracer la courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal $\oij$. (Unit\'e : 2~cm).
\end{enumerate}
\item Justifier \`a l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes :
\begin{itemize}
\item[~]  $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ;
\item[~]  $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~; ~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant \`a l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant \`a l'intervalle $]\text{e}~; ~+ \infty[$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}
