\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
%\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\subsection*{Exercice \arabic{exercice}{~\bf #2 } :}}
                            }{\vspace{0.25em}\hrule}
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}



\pagestyle{empty} 
\begin{document}


\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 3 (2 heures)}{}{Classe de TS6}{11 novembre 2010}
%\vspace{0.7cm}

\exo{}{(4 points)}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
 \item $\ln(x+4)+\ln(x+1)=\ln(x+9)$
 \item $\ln(x^2-8)\leq \ln x + \ln 2$
 \item $(2x-3)\ln(x+1)>0$
 \item $2(\ln x)^2+\ln x -6 =0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo


\exo{}{(4 points)}
Etudier les limites aux bornes de l'intervalle $I$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x)=$}]
 \item $(\ln x)^4$; \ \ $I=\R_+^\star$.
 \item $\dfrac{1}{\ln x}$; \ \ $I=]1;\pI[$.
 \item $\ln(\ln x)$;  \ \ $I=]1;\pI[$.
 \item $\dfrac{\ln(1+3x)}{x}$; \ \ $I=\R_+^\star$.
% \item $\dfrac{x\ln x+1}{x^2+2}$; \ \ $I=\R_+^\star$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{(1 point)}
Déterminer la primitive sur l'intervalle donné
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x)=$}]
 \item $\dfrac{7}{2x-3}+\dfrac{1}{(2x-3)^3}$; \ \ $I=]\mI;\dfrac{3}{2}[$. 
 %\item $\sin x (\cos (2x))^4$; \ \ $I=\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\exo{}{(4 points)}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ par :
\[
 f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{2}x^2(3-2\ln x)+1; \ \  &\text{si $x>0$  }\\
\\
1 ; \ \  &\text{si $x=0$ }

\end{cases}
\]
On note $\calc$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour $f$ ?
	\item Déterminer la limite de $f$ en $\pI$.
       \end{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item Etudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
\item Calculer $f'(x)$ pour $x>0$.
\end{enumerate}
\item Etudier le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
\item Determiner l'équation de $D$ tangente à $\calc$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(7 points)} %[Liban, juin 2010]
 
\begin{partie}
Soit $u$ la fonction définie sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par :

\[u(x) = x^2 - 2 + \ln x\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $u$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ et préciser ses limites en $0$ et en $+\infty$. 
\item 
        \begin{enumerate}
                \item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une solution unique sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$. 
                
                  On note $\alpha$ cette solution. 
                \item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
        \end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\item Montrer l'égalité : $\ln \alpha = 2 - \alpha^2$.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par :

\[f(x) =  x^2 + (2 - \ln x)^2\]
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$. 
\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout $x$ de $\intervalleOO{0}{+\infty}$, $f'(x)$ en fonction de $u(x)$. 
\item En déduire les variations de $f$ sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}
 
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\oij$, on note :

\begin{itemize}
\item $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $\ln$ (logarithme népérien) ; 
\item $A$ le point de coordonnées $\couple{0}{2}$ ; 
\item $M$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $x$ appartenant à $\intervalleOO{0}{+\infty}$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la distance $AM$ est donnée, en fonction de $x$, par $AM = \sqrt{f(x)}$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[g(x) = \sqrt{f(x)}\]
        \begin{enumerate}
                \item Montrer que les fonctions $f$ et $g$ ont les mêmes variations sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$. 
                \item Montrer que la distance $AM$ est minimale en un point de $\Gamma$, noté $P$, dont on précisera les coordonnées. 
                \item Montrer que  $AP= \alpha \sqrt{1 + \alpha^2}$.
        \end{enumerate}
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
La droite $(AP)$ est-elle perpendiculaire à la tangente à $\Gamma$ en $P$ ? 

\end{enumerate}
\end{partie}

\finexo


\end{document}
