\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\subsection*{Exercice \arabic{exercice}{~\bf #2 } :}}
                            }{\vspace{0.25em}\hrule}


\newcommand{\ds}{\displaystyle}


\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}


\pagestyle{empty} 
\begin{document}

\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 2 (2 heures)}{}{Classe de TS6 (spé et obligatoire)}{14 octobre 2010}



\exo{Etude de fonction, dérivabilité}{(obligatoire, 1,5 point)}
Soit $f$ la fonction définie sur sur $I= ]\mI;1[$ par 
\[
 f(x)=\sqrt{1-x}
\]
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $f$  est dérivable sur $I$.
 \item Déterminer alors $f'(x)$.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{derivation}{(obligatoire, 1,5 points)}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\R$ satisfaisant
\[
 f(x)+f''(x)=0 \ \  \ \text{ pour tout $x\in \R$.}
\]
 Soit $g$ définie sur $\R$ par

\[
g(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2.
\]
Montrer que $g$ est constante sur $\R$.
\finexo



\exo{Etude de fonction, dérivabilité}{(spécialité, 3 points)}
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $A_n=n(n^2+5)$ est divisible par 6. 
\finexo



\exo{primitives}{(3 points)}
Déterminer les primitives de la fonction sur l'intervalle $I$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic* }(x)=$}]
\item $(2x-1)\sqrt{x^2-x+1}$, \ \ \ \ $I=\R$.
\item $\dfrac{3x^2-5}{(x^3-5x)^3}$, \ \ \ \ $I=]10;\pI[$.
\item $\cos (2x+1)$, \ \ \ \ \ \ $I=\R$.
\item $\tan x + \tan^3 x$, \ \ \ \ $I=]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} [$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
 \finexo

\exo{primitives}{(2 points)}
Soit $f(x)=\cos^3x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \R$ on a $f(x)=\cos x - \cos x
  \sin^2x$.
\item En déduire la primitive de $F$ telle que $F(\frac{\pi}{2})=0$.
\end{enumerate}
 \finexo

\exo{dérivation arcsin}{(4 points)}
$F$ est une fonction définie et dérivable sur $I=]-1;1[$ telle $F(0)=0$ et
pour tout réel $x$,
\[
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]
On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une
expression de $F(x)$. 
\begin{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction définie sur $I$ par
\[
G(x)=F(x)+F(-x)
\]
\begin{enumerate}
\item Justifiez que $G$ est dérivable sur $I$ et calculez $G'(x)$
  pour tout réel $x$.
\item Calculez $G(0)$ et déduisez-en que $F$ est une fonction impaire 
\end{enumerate}
\item Soit $T$ définie sur $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ par :
\[
T(x)=F(\sin x)-x
\]
\begin{enumerate}
\item Calculez $T'(x)$, qu'en déduisez-vous pour la fonction $T$ ?
\item Calculez $F\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\finexo
 

\exo{theoreme de la bijection}{(4 points)}
Soit $f$ définie sur $\R$ par 
\[
f(x)=x^3-3x^2-5
\]
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ en $\pI$ et $\mI$ et dresser son tableau de variations.
\item Soit $(E)$ l'équation 
\[
x^3-3x^2=5
\]
Montrer que $(E)$ admet une solution $\alpha$ unique sur $\R$ et
déterminer une valaur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{-3}$.
\item Montrer {\it(en utilisant la définition de $\alpha$)} que 
\[
\alpha^2=\dfrac{5}{\alpha-3}
\]
\end{enumerate}
\finexo

\exo{Etude de fonction, dérivabilité}{(4 points)}
Soit $f$ définie sur $I=[-3;\pI[$ par 
\[
f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}
\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Etudier la dérivabilité de $f$ en $-3$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item Etudier la dérivabilité de $f$ en $0$, et interpréter
  graphiquement le résultat.
\end{enumerate}
\item Déterminer $\limite{x}{\pI} f$.
\item Etudier les variations de $f$ sur $I$ et dresser son tableau de
  variations.
\item  Représenter sommairement la courbe
  représentative $\calc$ de $f$ dans un repère orthonormal $\oij$.
% \item Soit $k\geq0$, montrer que l'équation $f(x)=k$ admet une
%   solution unique sur $[0;\pI[$.
\end{enumerate}
\finexo



\end{document}
