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              pdftitle={Baccalauréat blanc de terminale S - Enseignement spécialité},%
              pdfauthor={L.F.B.},%
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\newenvironment{exercice}[1][]{%
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                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}


% \newenvironment{partie}[1][]{%
%                      \stepcounter{partie}
%                      \refstepcounter{refpart}
%                       \par \vspace{0.5ex}\noindent
%                      \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
%                      }\nopagebreak\par%
%                      }{\par\vspace{1em}}

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\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
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                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}SPECIALITE}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large} 6 mai 2011\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures}

\textbf{Coefficient : 9}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les trois exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[5 points]
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $\oijk$.
 
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et

$x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		
\medskip
		 
\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
Pour tout entier $n\in \N^\star$, on considère l'intégrale 
\[
I_n=\int_1^{\e}(\ln x)^n \, dx
\]
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1;\e[$ et pour
  tout entier naturel $n$, on a 
\[
(\ln x)^n-(\ln x)^{n+1} >0
\]
\item En déduire que la suite $(I_n)$ est décroissante.
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.
\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout
  $n \in \N^\star$ :
\[
I_{n+1}=\e-(n+1)I_n
\]
\item En déduire $I_2$ et $I_3$ en fonction de $\e$.

\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n$ non nul, $I_n\geq 0$
\item Démontrer que pour tout $n$ non nul, $(n+1)I_n\leq \e$
\item En déduire la limite de $I_n$
\item Déterminer la valeur de  $nI_n+(I_n+I_{n+1})$. En déduire la
  limite de $nI_n$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\newpage

\begin{exercice}[5 points]
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\ouv$. On 
prendra, sur la figure 1 cm pour unité graphique. 

On désigne par A, B  et C les points d'affixes respectives $- 1$  + 
i,~$3 + 2\text{i}$ et i$\sqrt{2}$.

\begin{enumerate}
\item On considère la transformation $f$ du plan dans lui-même qui  à 
tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{1 + \text{i}}{\sqrt{2}}\overline{z} - 1 + \text{i}\left(1 + 
\sqrt{2}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A})$ et 
C$' = f(\text{C})$.
		\item En déduire la nature de $f$ et caractériser cette transformation.
		\item Placer les points A, B et C puis construire le point B$' = f(\text{B})$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Donner l'écriture complexe de l'homothétie 
$h$ de centre A et de rapport $\sqrt{2}$.
		\item Montrer que la composée $g = f \circ h$ a pour écriture complexe 

\mbox{$z'' =  (1 + \text{i})\overline{z} - 1 + 3\text{i}$}.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item Soit M$_0$ le point d'affixe 2 - 4 i.

Determiner l'affixe du point M$_0'' = g\left(\text{M}_0\right)$ puis vérifier que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AM}_0''}$ sont orthogonaux.
		\item On considère un point $M$ d'affixe $z$. On suppose que la partie réelle $x$ et la partie imaginaire $y$ de $z$ sont des entiers.

Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux si, et seulement si $5x + 3y  = -2$.
		\item Résoudre dans $\Z^2$ l'équation $5x + 3y = -2$.
		\item En déduire les points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant  à l'intervalle $[-6~;~ 6]$ tels que $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{A}M''}$ sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}
\newpage


\end{document}


