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              pdftitle={Baccalauréat blanc de terminale S - Enseignement obligatoire},%
              pdfauthor={L.F.B.},%
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\newenvironment{exercice}[1][]{%
                     \refstepcounter{exercice}
                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}



\newcommand{\suite}[1][u]{\left( #1_{n} \right)_{n\in\N}}

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\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
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                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large}6 mai 2011\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les trois exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[5 points]
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $\oijk$.
 
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et

$x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		
\medskip
		 
\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
Pour tout entier $n\in \N^\star$, on considère l'intégrale 
\[
I_n=\int_1^{\e}(\ln x)^n \, dx
\]
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1;\e[$ et pour
  tout entier naturel $n$, on a 
\[
(\ln x)^n-(\ln x)^{n+1} >0
\]
\item En déduire que la suite $(I_n)$ est décroissante.
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.
\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout
  $n \in \N^\star$ :
\[
I_{n+1}=\e-(n+1)I_n
\]
\item En déduire $I_2$ et $I_3$ en fonction de $\e$.

\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n$ non nul, $I_n\geq 0$
\item Démontrer que pour tout $n$ non nul, $(n+1)I_n\leq \e$
\item En déduire la limite de $I_n$
\item Déterminer la valeur de  $nI_n+(I_n+I_{n+1})$. En déduire la
  limite de $nI_n$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\newpage

\begin{exercice}[5 points]

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\ouv$ ; l'unité graphique est 1~cm. 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation: 
\[z^2 + 4z + 8 =  0.\]
 On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
\item  On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 -  2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe $c$ du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
		\item  On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe $d$
	du point D est $d =2 - 6\text{i}$.
		\item  Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
 	\end{enumerate}
\item $\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $G_{\alpha}$, le barycentre du système :
\[\left\{(\text{A};1);(\text{B};-1);(\text{C};\alpha)\right\}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer le vecteur $\vect{\text{C}G_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{BA}}.$
		\item  En déduire l'ensemble des points $G_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
		\item  Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $G_{\alpha} =$ D ?
 	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $\alpha =  2$.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse,
sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
	
Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 
	\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2}.\]
\end{enumerate}

\end{exercice}


\end{document}


