\documentclass[11pt]{article}
%\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
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                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
%\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
%\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={1cm,2cm}}

\usepackage{lfba}  % fichier de style perso


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}

\usepackage{enumitem}

\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : #2  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 13 (2 heures)}{}{Classe de
TS5 }{4 mai 2010}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\danger{\it Le bar\^eme est approximatif et l'usage de la calculatrice est interdit.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{0pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}


\exo{Probabilité continue}{}

La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une expression exacte de $\lambda$ sachant que $p(T \leqslant  10) = 0,7$.

On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur $0,12$ comme valeur
approchée de $\lambda$. 

\item Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle

$P_{(T > 10)}(T> 15)$. 
		\item 	Sachant qu'un client a déjà attendu $10$~minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas $15$~minutes.
		
On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à $0,01$ près de la réponse.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6~caisses sont ouvertes. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10~minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature et les paramètres caractéristiques de  $Y$.
		\item 	Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10~minutes.
		
Déterminer à $0,01$ près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{Probabilité binomiale}{}
% D'après Centre  étranger juin 2006

 \noindent  On lance un d\'e t\'etra\'edrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cach\'ee.

Pour $k \in \{1~;~ 2~;~3 ~;~4)$, on note $p_{i}$ la probabilit\'e d'obtenr le nombre $k$ sur la face cach\'ee.\\
Le d\'e est d\'es\'equilibr\'e de telle sorte que les nombres  $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$ et  $p_{4}$ dans cet ordre forment une progression arithmétique.

\begin{enumerate}
\item Sachant que  $p_{4}= 0,4$, montrer que
\[
  p_{1}= 0,1,~~~~~p_{2}
= 0,2, ~~~~~p_{3} = 0,3
\]
\item On lance le d\'e trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux \`a deux ind\'ependants.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'e d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ? 
\item Quelle est la probabilit\'e d'obtenir trois nombres distincts rang\'es dans l'ordre croissant ?
\end{enumerate}
\item On lance $10$ fois de suite le d\'e. On suppose les lancers deux \`a deux ind\'ependants. On note $X$ la variable al\'eatoire qui d\'ecompte le nombre de fois o\`u le chiffre 4 est obtenu. 
\begin{enumerate}
\item Pour $1 \leqslant i \leqslant  10$, exprimer en fonction de $i$
  la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $(X = i$). 
\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de $X$. Interpr\'eter le r\'esultat obtenu. 
\item Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement ($X \geqslant  1$). On donnera une valeur arrondie au milli\`eme.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On lance $n$ fois le d\'e, les lancers \'etant encore suppos\'es ind\'ependants deux \`a deux.\\
On note $U_{n}$ la probabilit\'e d'obtenir pour la premi\`ere fois le nombre 4 au $n$-i\`eme lancer.\\
 Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique et qu'elle est convergente.
\end{enumerate}
\finexo



\newpage
\exo{Probabilité binomiale}{}

La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plan\-tes :

40\:\% sont de type A, 41\:\% de type B et 19\:\% de type C.

On admet qu'au début de chaque année :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
\item[$\bullet$]  chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante
de type A, B ou C.
\item[$\bullet$]  chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type B est $0,3$.

La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est $0,6$ et celle qu'elle le soit par une plante de type A est $0,3$.
 
Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] A$_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type A \fg,
\item[$\bullet$] B$_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type B \fg,
\item[$\bullet$] C$_{n}$ l'évènement \og la plante choisie la $n$-ième année est de type C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $p_{n},~ q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des évènements A$_{n}$,  B$_{n}$ et C$_{n}$.

Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année $n^{\circ} 0$) on pose : $p_{0} =0,40, ~q_{0} =  0,41$ et $r_{0} = 0,19$.
 
\parbox{0.55\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item  Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré
ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation
par la probabilité correspondante. Aucune justification
n'est demandée pour cette question.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $p_{1} = 0,363$ puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$.
		\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[\left\{\begin{array}{l c l}
p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\
q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n}\\
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\item  On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\N$ par
$S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$.
		\item  Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$.
		\item  En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right),~ \left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$.

Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.4\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4)
\rput(1.75,5.5){début de} \rput(1.75,4.5){l'année $n^{\circ} 0$}
\rput(3.75,5.5){début de} \rput(3.75,4.5){l'année $n^{\circ} 1$}
\psline[linestyle=dashed](2,4.3)(2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](4,4.3)(4,3.6)
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{?}}
		{\TR{A}\taput{?}
		\TR{B}\taput{?}
		\TR{C}\taput{?}
		}
\pstree[]{\TR{B}\taput{?}}
		{\TR{A}\taput{?}
		\TR{B}\taput{?}
		\TR{C}\taput{?}
		}
\pstree[]{\TR{C}\taput{?}}
		{\TR{C}\taput{?}
		
		}
}
\end{pspicture}}

\finexo


\end{document}
