\documentclass[10pt]{article}
%\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
%\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
%\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={1cm,2cm}}

\usepackage{lfba}  % fichier de style perso


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}

\usepackage{enumitem}

\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : #2  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 13 (2 heures)}{}{Classe de
TS5 (spécialité)}{4 mai 2010}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\danger{\it Le bar\^eme est approximatif et l'usage de la calculatrice est interdit.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{0pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}


\exo{Probabilité continue}{}

La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Déterminer une expression exacte de $\lambda$ sachant que $p(T \leqslant  10) = 0,7$.

On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur $0,12$ comme valeur
approchée de $\lambda$. 

\item Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle

$P_{(T > 10)}(T> 15)$. 
		\item 	Sachant qu'un client a déjà attendu $10$~minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas $15$~minutes.
		
On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à $0,01$ près de la réponse.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6~caisses sont ouvertes. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10~minutes.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature et les paramètres caractéristiques de  $Y$.
		\item 	Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10~minutes.
		
Déterminer à $0,01$ près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\exo{Probabilité binomiale}{}
% D'après Centre  étranger juin 2006

 \noindent  On lance un d\'e t\'etra\'edrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cach\'ee.

Pour $k \in \{1~;~ 2~;~3 ~;~4)$, on note $p_{i}$ la probabilit\'e d'obtenr le nombre $k$ sur la face cach\'ee.\\
Le d\'e est d\'es\'equilibr\'e de telle sorte que les nombres  $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$ et  $p_{4}$ dans cet ordre forment une progression arithmétique.

\begin{enumerate}
\item Sachant que  $p_{4}= 0,4$, montrer que
\[
  p_{1}= 0,1,~~~~~p_{2}
= 0,2, ~~~~~p_{3} = 0,3
\]
\item On lance le d\'e trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux \`a deux ind\'ependants.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'e d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ? 
\item Quelle est la probabilit\'e d'obtenir trois nombres distincts rang\'es dans l'ordre croissant ?
\end{enumerate}
\item On lance $10$ fois de suite le d\'e. On suppose les lancers deux \`a deux ind\'ependants. On note $X$ la variable al\'eatoire qui d\'ecompte le nombre de fois o\`u le chiffre 4 est obtenu. 
\begin{enumerate}
\item Pour $1 \leqslant i \leqslant  10$, exprimer en fonction de $i$
  la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $(X = i$). 
\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de $X$. Interpr\'eter le r\'esultat obtenu. 
\item Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement ($X \geqslant  1$). On donnera une valeur arrondie au milli\`eme.
\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On lance $n$ fois le d\'e, les lancers \'etant encore suppos\'es ind\'ependants deux \`a deux.\\
On note $U_{n}$ la probabilit\'e d'obtenir pour la premi\`ere fois le nombre 4 au $n$-i\`eme lancer.\\
 Montrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique et qu'elle est convergente.
\end{enumerate}
\finexo

\newpage


\exo{Specialite}{}
%antille guyanne sept 2006
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \ouv.

On désigne par A et C les points d'affixes respectives 1 et 2i.\\
Sur le dessin joint en annexe (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier le fait qu'il existe une unique similitude directe $s$ qui transforme O en I et A en C. 
		\item  Déterminer l'écriture complexe de $s$. En déduire les éléments caractéristiques de $s$ et, en particulier, établir que l'affixe du centre $\Omega$ de $s$ vaut $\dfrac{1 + 3\text{i}}{5}$.
		\item  Vérifier par un calcul que $\Omega$ est situé sur le cercle $\Gamma$ de centre A passant par O.
	\end{enumerate}
\item  Soit $f$ l'application du plan complexe d'écriture complexe 

\[z \longmapsto \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z}  + \dfrac{8 + 4\text{i}}{5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les images par $f$ des points A et C. En déduire la nature précise de $f$, puis démontrer que I est l'image de $\Omega$ par la symétrie orthogonale d'axe (AC). 
		\item  Construire le cercle $\Gamma$ sur le dessin et placer également le point $\Omega$ en utilisant les informations géométriques précédentes. 
	\end{enumerate}
\item  À tout point $M$ d'image $M'$ par $s$, on associe le point $M''$ défini par l'égalité vectorielle $\vect{M'M''} = \vect{\Omega M}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le point $\Omega''$ associé à $\Omega$ ? 
		\item  Construire avec soin le point A$''$ en laissant les traits de construction.
		\item  On suppose maintenant que $M$ a pour affixe $z$.\\
Démontrer que $M''$ a pour affixe $z'' = \text{i}z + \dfrac{4 + 2\text{i}}{5}$.

En déduire que $M''$ est l'image de $M$ par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques. 
		\item  Déterminer et représenter sur le dessin l'ensemble $\Gamma''$ des points $M''$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}

\vspace{1cm}

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(2,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(2,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(1,2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\uput[d](1,0){A} \uput[r](1,1){I} \uput[ur](1,2){B} 
\uput[l](0,2){C} 
\psline(0.98,1)(1.02,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\finexo
\end{document}
