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%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
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\newcommand{\exo}[2]{\begin{exerciceds}{#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exerciceds}}


\begin{document}
\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{18cm} Durée : 4 heures \hfill Le 14 avril 2010                                                          \begin{center} {\LARGE
                 \bf Devoir de mathématiques} \\ \vspace{0.3cm} {\large \bf Obligatoire et spécialité}
        \\ \vspace{0.3cm}  La calculatrice est autorisée 
\end{center} \end{minipage}} 
\end{center}


\subsection*{Exercice 1 : Commun à tous les candidats (5 points) }

On s'int\'eresse dans cet exercice  \`a une suite de nombres rationnels qui converge vers $\text{e}^2$.

On rappelle que $n!=1\times2\times\dots\times n$

\noindent On d\'efinit, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, l'int\'egrale

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^2 \dfrac{1}{n!}(2 - x)^n\text{e}^x\,\text{d}x.\]

\begin{enumerate} \item Calculer I$_{1}$ à l'aide d'une intégration par parties.

\item Établir que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,
\[
 0\leqslant  I_{n} \leqslant \dfrac{2^n}{n!}\left(\text{e}^2 - 1\right)
\]
 

\item À l'aide d'une int\'egration par parties, montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1,$
\[
 I_{n+1} = I_{n} - \dfrac{2^{n+1}}{(n + 1)!} 
\]

\item D\'emontrer par r\'ecurrence que $\text{e}^2 = 1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} +\cdots + \dfrac{2^n}{n!} + I_{n}$.
% 
% \item On pose, pour tout entier naturel $n\geqslant 1,~ u_{n} = \dfrac{2^n}{n!}$.
% 
% \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ et prouver que pour tout entier naturel  $n \geqslant 3,~u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}u_{n}$.
% 
% \item En d\'eduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 3,~ 0 \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{3}\left(\dfrac{ 1}{2}\right)^{n-3}.$
% 
% \end{enumerate} 
% 
% \item En d\'eduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis celle de la suite $\left(I_{n}\right)$.
% 
% \item Justifier enfin que :
% 
% \[\text{e}^2 = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} +\cdots + \dfrac{2^n}{n!}\right).\]

\end{enumerate} 


\subsection*{Exercice 2 : Commun à tous les candidats  (5 points) } 


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~  +\infty[$ par 
\[f(x) =  \ln x - \dfrac{1}{\ln x}.\]
On nomme ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$ dans un repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et préciser les limites en $1$ et en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\limite{x}{\pI} [f(x) - \ln x]$.\\ Interpréter graphiquement cette limite.
		\item  Préciser les positions relatives de ($\mathcal{C}$) et de $\Gamma$.
 	\end{enumerate}
\item	On se propose de chercher les tangentes à la courbe ($\mathcal{C}$) passant par le point O.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $a$ un réel appartenant à l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.\\
Démontrer que la tangente $\mathcal{T}_{a}$ à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $a$ passe par l'origine du repère si et seulement si $f(a) -af'(a) = 0$.\\
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 
		\[g(x) = f(x) - xf'(x).\]
		\item  Montrer que sur $]1~;~+\infty[$, les équations $g(x) = 0$ et \\$(\ln x)^3 - (\ln x)^2- \ln x - 1 =  0$ ont les mêmes solutions.
		\item  Après avoir étudié les variations de la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(t) = t^3-t^2 -t - 1$ montrer que la fonction $u$ s'annule une fois et une seule sur $\R$.
		\item  En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe ($\mathcal{C}$) passant par le point O.\\
		 La courbe ($\mathcal{C}$) et la courbe $\Gamma$ sont données en annexe. \\
		 Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
	\end{enumerate}
\item	On considère un réel $m$ et l'équation $f(x) = mx$ d'inconnue $x$.\\
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]l ; 10].
\end{enumerate}



\vspace{.2cm}
 \textbf{Repr\'esentations graphiques obtenues \`a l'aide d'un tableur}
 
 \vspace{.2cm}
 
 \begin{center}
 \psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
 \begin{pspicture}(0,-3)(12,3)
 \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-3)(12,3)
 \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(0,-3)(12,3)
 \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.05}{11.5}{x ln}
 \psplot[linestyle=dashed,plotpoints=2000]{1.355}{11.5}{x ln 1 x ln div sub}
\psline(0,-4)(1.5,-4)  \rput(6,-4){Courbe $\Gamma$ repr\'esentative de la fonction ln}
\psline[linestyle=dashed](0,-4.5)(1.5,-4.5)  \rput(6,-4.5){Courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de la fonction $f$}
  \end{pspicture}
  \end{center}

\newpage



\subsection*{Exercice 3 : Commun à tous les candidats  (5 points) }

\noindent \textbf{I. Première partie}

 On appelle $f$ et $g$ les deux fonctions d\'efinies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = \ln(1 +x) - x\quad \text{et} \quad  g(x) = \ln (1+x) - x + \dfrac{x^2}{2}.\]
 
\begin{enumerate}\item Étudier les variations de $f$ et de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\item En déduire que pour tout $x \geqslant 0$
\[
 x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \ln (1 + x) \leqslant x
\]

\end{enumerate}

\noindent \textbf{II. Deuxième partie}

 On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ de nombres réels définie par :
 
\[u_{1}  = \dfrac{3}{2}\quad \text{et} \quad 	u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right).\]

\begin{enumerate}\item Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. 

\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\[\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right).\]

\item On pose $S_{n}	 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$ et $T_{n} =  \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}.$

À l'aide  de la premi\`ere partie, montrer que :

\[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n} \leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\]

\item Calculer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$. En déduire  $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  S_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  T_{n}$.

\item Étude de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\begin{enumerate}\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.

\item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite.

\item On admet le résultat suivant : si deux suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont convergentes et telles  que $v_{n} \leqslant w_{n}$  pour tout $n$ entier naturel, alors 
\[
 \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_{n}.
\]


Montrer alors que $\dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$ et en déduire, un encadrement de $\ell$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{Exercice 4 : Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points) }


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 2\text{i}$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice. 
		\item Déterminer la nature du triangle OAB.
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point $M$ d' affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe du point $M'$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. Interpréter géométriquement ce résultat.  
		\item  En déduire l'écriture complexe de la rotation $r$.
	\end{enumerate} 
\item Soient $\Gamma$ le cercle de centre A passant par O et $\Gamma '$ le cercle de centre B passant par O.
 
Soit C le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma '$ (autre que O). On note $z_{\text{C}}$ son affixe. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le cercle $\Gamma '$ est l'image du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$. 
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de [AB]. 
		\item Déterminer la nature du quadrilatère OACB. 
		\item En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est : 
\[z_{\text{C}} = 1 + \left(2 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]
	\end{enumerate} 
\item  Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que le point D appartient au cercle $\Gamma$. Placer D sur la figure. 
		\item  Placer D$'$ image de D par la rotation $r$ définie à la question 2.
		 
On note $z_{\text{D}'}$ l'affixe de D$'$.
 
Montrer que $z_{\text{D}'} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{DD}'}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}




\subsection*{Exercice 4 : Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points) }

\noindent Le plan complexe est muni d'un rep\`ere orthonormal \ouv (unit\'e graphique : 1~cm).\\
On fera une figure que l'on compl\'etera tout au long de cet exercice.\\

\noindent Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = 3 + 5\mathrm{i}$, $b = - 4 + 2 \mathrm{i}$ et $c = 1 + 4 \mathrm{i}$.\\

Soit $f$ la transformation du plan dans lui-m\^eme qui, \`a tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ d\'efinie par $z' = (2 - 2\mathrm{i})z + 1$.


\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la nature et les \'el\'ements caract\'eristiques de f.

\item 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'affixe du point B$'$ image du point B par f.

\item Montrer que les droites (CB$'$) et (CA) sont orthogonales.
\end{enumerate}

\item Soit $M$ le point d'affixe $z = x + \text{i}y$ , o\`u on suppose que $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.\\
Soit $M'$ l' image de $M$ par $f$.\\
Montrer que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ sont orthogonaux si et seulement si $x + 3y = 2$.

\item On consid\`ere l'\'equation (E) : $x + 3y = 2$, o\`u $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que le couple $(- 4~;~2)$ est une solution de (E).

\item R\'esoudre l'\'equation (E).

\item En d\'eduire l'ensemble des points $M$ dont les coordonn\'ees sont des entiers appartenant \`a l'intervalle $[-5~;~5]$ et tels que les vecteurs $\vect{\text{C}M'}$ et $\vect{\text{CA}}$ soient orthogonaux.\\
Placer ces points sur la figure.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
