\documentclass[10pt]{article}
%\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
%\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
%\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={1cm,2cm}}

\usepackage{lfba}  % fichier de style perso


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}

\usepackage{enumitem}

\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : #2  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 11 (2 heures)}{}{Classe de
TS5 (obligatoire) }{16 mars 2010}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\danger{\it Le bar\^eme est approximatif et l'usage de la calculatrice est interdit.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{0pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}


\exo{Suite}{(1,5 points)}
Calculer les intégrales suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item \[ I=\int_0^1 x(x^2+2)\, dx \]
\item \[  J=\int_{-1}^2 2^x\, dx \]
\end{enumerate}
%\end{multicols}

\exo{Intégrales}{(5,5 points)}
Soit $f$ définie sur $\R_+$ par 
\[
 f(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}
\]
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}

 \item Montrer que pour tout $x \geq 0$ on a $e^{-x}\leq e^{x}$.
\item Montrer que $f$ est décroissante sur $\R_+$ et dresser le tableau de  variations (complet) de $f$ sur $[0;\pI[$.
\end{enumerate}
\item  Pour $n$ entier naturel, on considère 
\[
I_n=\int_n^{n+1} f(x) dx
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n\geq 0$.
 \item Montrer que pour tout $n \in \N$
\[
 f(n+1)\leq I_n\leq f(n)
\]
\item En déduire que $(I_n)$ est décroissante.
\item Montrer que $(I_n)$ converge.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo




\exo{Suites-Integrales}{(8 points)}
% Ex4 sujet 2 annales 2009 amerique du nord juin 2008
On considère les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ non nul par :
\[ x_{n} = \int_{0}^1 t^n \cos t\:\text{d}t \quad \text{et}\quad  y_{n} = \int_{0}^1 t^n \sin t\:\text{d}t .\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est à termes positifs.
		\item Étudier les variations de la suite $\left(x_{n}\right)$.
		\item Que peut-on en déduire quant \`a la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, ~$x_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[ 
x_{n+1} = -(n + 1)y_{n} + \sin (1). 
\]

		\item  En déduire que $\limite{n}{+ \infty} y_{n} = 0$.
	\end{enumerate}
\item	On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $y_{n+1} = (n + 1)x_{n} - \cos (1)$.\\
D\'eterminer $\limite{n}{+\infty} n x_{n}$ et $\limite{n}{\infty} n y_{n}.$
\end{enumerate}


\finexo



\exo{Suite}{(5 points) Obligatoire}
% La reunion juin 2007

Soit $a$ un nombre r\'eel tel que $-1 < a  < 0$.\\
 On consid\`ere la suite $u$ d\'efinie par $u_{0} = a$, et pour tout entier naturel $n,~\\ u_{n+1} = u_{n}^2 + u_{n}$.

\begin{enumerate}
\item  \'Etudier la monotonie de la suite $u$.

\item  \begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x) = x^2 +x$. \\\'Etudier le sens de variations de la fonction $h$.\\
En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant \`a l'intervalle $]-1~;~0[$, le nombre $h(x)$ appartient aussi \`a l'intervalle $]-1~;~0[$.
\item  D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $-1< u_{n} < 0$.
\end{enumerate}
\item  \'Etudier la convergence de la suite $u$. D\'eterminer, si elle existe, sa limite.
 \end{enumerate}
\finexo





\exo{Similitude}{(5 points) Spécialistes}
%\\Large Nouvelle-Calédonie décembre 2008 }

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}~;~\vect{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt ]{->}(0,0)(-2,-2)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-2)(4,2)
\psline(0,0)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2,0)
\psline(2,0)(1,-1)
\psline(1,-1)(0,0)
\psline(0,0)(0.24,1.26)
\psline(0.24,1.26)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2.25,0.75)
\psline(2.25,0.75)(2,0)
\psdots(2,0)
\uput[dr](2,0){A}
\psdots[linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.05,0.05){I}
\psdots[linecolor=blue](1.5,1)
\rput[bl](1.58,1.12){B}
\psdots[linecolor=blue](1,-1)
\uput[dl](1,-1){P}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75)
\rput[bl](0.32,1.38){N}
\rput[bl](2.34,0.86){M}
\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B.

 On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$.

\medskip
 
\textbf{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. }

 \medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{À l'aide des transformations}

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$.
		\item  Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$.
		\item 	Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre.
		\item Quelle est l'image du point O par $r$ ?
		\item 	En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item \textbf{En utilisant les nombres complexes}
	\begin{enumerate}
		\item Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a.

\hrulefill
{\bf Travail à faire pour le jeudi 18 mars 2010 \hrulefill}
		\item 	En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N.
		\item 	Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\finexo

\end{document}
