\documentclass[11pt,twoside]{article}
\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...


%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

% Pour insérer des graphiques
\usepackage{graphicx}
\usepackage{eurosym}

\usepackage{lfba}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={2cm,1.8cm}}
\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]


\usepackage{esvect}
%\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
%\newcommand{\oij}{\ensuremath{\left(O;\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)}}
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}




\newcommand{\exo}[2]{\begin{exerciceds}{#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exerciceds}}



\usepackage[dark]{draftcopy}
\draftcopyFirstPage{1}
\draftcopyLastPage{1}
\draftcopyName{SPECIALITE}{100}
\draftcopySetGrey{0.5}
\begin{document}




{\center {\fbox{\Huge \textsc{Baccalauréat général}}}

\vspace{2cm}

{\Large\bf \textsc{SESSION BLANCHE Février 2010} }

\vspace{2cm}

{ \LARGE \textsc{Mathématiques}}

\vspace{1cm}

{\large Série : {\bf S}}

\vspace{2cm} 

DUREE DE L'EPREUVE : {\bf 4 heures}

\vspace{2cm} 


%{\large \bf Ce sujet comporte 4 pages numérotée de  1 à 4.}

\vspace{2cm}

{\large Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément
à la réglementation en vigueur.}

\vspace{2cm}
{\large
\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants, le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement dans la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies.

\end{minipage}}
}
}

\newpage


\noindent \textbf{\textsc{ Exercice 1} (5 points) }

\vspace{1cm}


\begin{center} {\bf Commun à tous les candidats}\end{center}

\textbf{Partie A}

\emph{Dans cette partie, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, un résultat de cours.}

%\medskip

On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$, positive sur $\intervalleFO{1}{+\infty}$, et vérifie :

\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~ x~ \text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif } x, ~\ln' (x) = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par :
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x$.
             \end{enumerate}

\textbf{Partie B}

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\intervalleOF{0}{1}$ par :

\[f(x) = 1 + x\ln x\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervalleOF{0}{1}$.

$\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\oij$.

$T$ est la droite d'équation $y = x$.

%La courbe $\mathscr{C}$ et la droite $T$ sont représentées sur le schéma ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
		\item  En utilisant le signe de $x \ln x$ sur $\intervalleOF{0}{1}$, montrer que, pour tout nombre réel $x \in  \intervalleOF{0}{1}$, on a : $f(x) \leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x \in  \intervalleOF{0}{1}$.
		\item Vérifier que la droite $T$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.
	\end{enumerate} 
\item On note $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x \in  \intervalleOF{0}{1}$ par \[g(x) = 1 + x \ln x - x\]
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $\intervalleOF{0}{1}$ et dresser le tableau de variation de $g$.
		 
On ne cherchera pas la limite de $g$ en $0$.
 
		\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $T$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\noindent \textbf{\textsc{ Exercice 2} (5 points) }

\vspace{.3cm}

\begin{center} {\bf Commun à tous les candidats}\end{center}

\vspace{.3cm}


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\ouv$. On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose $z_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n,~ z_{n+1} = \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n}$. On note $A_{n}$ le point du plan d'affixe $z_{n}$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $z_{1},~ z_{2},~ z_{3},~ z_{4}$ et vérifier que $z_{4}$ est un nombre réel.

Placer les points A$_{0}$,~A$_{1}$,~A$_{2}$,~A$_{3}$ et A$_{4}$ sur une figure.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n} =\left|z_{n}\right|$.

 Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel $n,$
 
\[u_{n} = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\]

\item À partir de quel rang $n_{0}$ tous les points $A_{n}$ appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n,~\dfrac{z_{n+1}- z_{n}}{z_{n+1}} = \text{i}$.\\
En déduire la nature du triangle O$A_{n}A_{n+1}$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_{n}$ la longueur de la ligne brisée\\ $A_{0}A_{1}A_{2}\ldots A_{n-1}A_{n}$.\\
On a ainsi : $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n}$.\\
Exprimer $\ell_{n}$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $\left(\ell_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\vspace{1cm}



\noindent \textbf{\textsc{ Exercice 3} (5 points) }

\vspace{.3cm}

\begin{center} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e} \end{center}

\vspace{.3cm}

On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels d\'efinie par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 14\\
u_{n+1}& =& 5 u_{n} - 6~~\text{pour tout entier naturel}~ n\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}\item Calculer $u_{1},~ u_{2},~ u_{3}$ et $u_{4}$.

Quelle conjecture peut-on \'emettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ?

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+2}\equiv  u_{n}\quad  (\text{modulo}~ 4)$.

En d\'eduire que pour tout entier naturel $k,~ u_{2k}\equiv  2 \quad  (\text{modulo}~ 4)$ et\\$u_{2k+1}\equiv 0  \quad  (\text{modulo}~ 4)$.

\item \begin{enumerate}\item Montrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n,~ 2u_{n} = 5^{n+2} 	+ 3$.

\item En d\'eduire que, pour tout entier naturel $n,~ 2 u_{n} \equiv  28\quad  (\text{modulo}~100)$.

\end{enumerate}

\item D\'eterminer les deux derniers chiffres de l'\'ecriture d\'ecimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n$.

\item Montrer que le PGCD de deux termes cons\'ecutifs de la suite $\left(u_{n}\right)$ est constant. Pr\'eciser sa valeur.

\end{enumerate}





\newpage

\noindent \textbf{\textsc{ Exercice 4} (5 points) }

\vspace{.3cm}

\begin{center} {\bf Commun à tous les candidats}\end{center}

\vspace{.3cm}


Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui semble en voie de disparition.

En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.

Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en années à partir de l'origine 2000).\\
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur $[0~;~+\infty[$, et satisfait l'équation différentielle :

\[(\text{E})\qquad	y' = - \dfrac{1}{20}y(3 - \ln y).\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction $f$, dérivable, strictement positive sur $[0~;~+\infty[$, vérifie, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$,
	$f'(t) = - \dfrac{1}{20}f(t)[3 - \ln\left(f(t)\right)]$ si et seulement si la fonction $g =\ln (f)$ vérifie, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[,\\  g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20}$.
\item Donner la solution générale de l'équation différentielle :

\[(\text{H})\qquad  z' =  \dfrac{1}{20}z - \dfrac{3}{20}.\]
\item En déduire qu'il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$
\[f(t) = \text{exp}\left[3 + C \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].\]
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle $x  \mapsto  \text{e}^x$).
\item La condition initiale conduit donc à considérer la fonction $f$ définie par :

\[f(t) = \text{exp}\left[3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Résoudre dans $[0~;~+\infty[$ l'inéquation  $f(t) < 0,02$.\\
 Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\end{document}
