\documentclass[11pt]{article}
%\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

%\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
%\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={1cm,2cm}}

\usepackage{lfba}  % fichier de style perso


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}

\usepackage{enumitem}

\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : #2  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 8 (1 heure)}{}{Classe de
T5S (obligatoire) }{26 janvier 2010}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\danger{\it Le bar\^eme est approximatif et l'usage de la calculatrice est interdit.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{0pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}

\exo{complexe}{(14 points)}
Le plan complexe est muni d'un rep\'ere orthonorm\' e direct \ouv.\\
On prendra 2 cm pour unit\' e graphique.\\
Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe 2.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\' eterminer l'affixe du point B$_{1}$ image de B par l'homoth\' etie de centre A et de
rapport $\sqrt{2}$.
\item D\' eterminer l'affixe du point B$'$ image de B$_{1}$ par la rotation de centre A et d'angle
$\dfrac{\pi}{4}$.\\
Placer les points A, B et B$'$.
\end{enumerate}
\item On appelle $f$ la transformation du plan dans lui-m\^eme qui, à tout point $M$ d'affixe $z$,
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
\[ z' = (1 + \text{i})z + 1.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que B a pour image B$'$ par $f$.
\item Montrer que A est le seul point invariant par $f$.
\item Etablir que pour tout nombre complexe $z$ distinct de i,~
$\dfrac{z' - z}{\text{i} - z} = - \text {i}$.\\
Interpr\' eter ce r\' esultat en termes de distances puis en termes d'angles.\\
En d\' eduire une m\' ethode de construction de M$'$ à partir de $M$, pour $M$ distinct de
A.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner la nature et pr\' eciser les \' el\' ements caract\' eristiques de l'ensemble $\Sigma_{1}$  des
points $M$ du plan dont l'affixe $z$ v\' erifie $|z - 2| = \sqrt{2}$.
\item D\' emontrer que $z' - 3-2\text{i} =  (1 + \text{i})(z -2)$.\\
En d\' eduire que si le point $M$ appartient à $\Sigma_{1}$, alors son image $M'$ par $f$
appartient à un cercle $\Sigma_{2}$, dont on pr\' ecisera le centre et le rayon.
\item Tracer $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ sur la m\^eme figure que A, B et B$'$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\finexo

\exo{complexe}{(6 points)}
Soit $z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+\text{i}\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
\begin{enumerate}
\item La forme algébrique de $z^2$ est :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=$\square$]
  \item  $2\sqrt2$
  \item  $2\sqrt2-2\i\sqrt{2}$
  \item  $2+\sqrt2 + \i(2-\sqrt2)$
  \item  $2\sqrt2+2\i\sqrt{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Justifier votre réponse.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z^2$.
\item En déduire la forme exponentielle de $z$.
\end{enumerate}
\finexo




\end{document}
