\documentclass[10pt]{article}
%\documentclass[10pt,a4,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
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                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

%\usepackage[landscape,a4paper]{geometry}
%\geometry{hmargin={1.2cm,2.5cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,vmargin={1cm,2cm}}

\usepackage{lfba}  % fichier de style perso


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}

\usepackage{enumitem}

\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsubsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : (#2)  }}
\newcommand{\finexo}%{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 5 (1 heure)}{}{Classe de
T5S (obligatoire) }{23 novembre 2009}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\danger{\it Le bar\^eme est approximatif et l'usage de la calculatrice est interdit.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{0pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}

\section*{Exercice}
\begin{enumerate}
 \item  Résoudre $\E^{2x}-4\E^{x}+3 \geq 0$.
 \item On donne $f(x)=\ln(\E^{2x}+3x)$ sur $D=\R_+$. On  note $\calc$ la courbe représentative de $f$. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$ est asymptote à $\calc$.
\end{enumerate}

\section*{Problème}
\textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip
 
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.\\
Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

 \textbf{B - Étude d'une fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan.

\medskip Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.


\medskip


\begin{minipage}{10cm}
\textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}
 
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}.\]
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.

En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.
\item	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)

\item	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.\\
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
 \end{center}
 ×
\end{minipage}




\end{document}
